Transformation av partiell derivata genom substitution (kedjeregeln)

Hej!

Uppgift:

a) Transformera uttrycken $\frac{\partial f}{\partial x}$ & $\frac{\partial f}{\partial y}$ genom substitutionen

$\left\{\begin{array}{l}u=x-ky\\ v=x+ky\end{array}\right.$ där k är ett tal $\ne 0$

b) Bestäm den lösning $f(x, y)$ till differentialekvationen

$2\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0$

som uppfyller villkoret $f(x, 0)=\sin \left(x\right)$.

Ledning: Gör substitutionen i a) och välj k lämpligt!

Min lösning:

a) $\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{x}}=\frac{\partial f}{\partial u}\times \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\times \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\mathbf{\partial }\mathit{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{u}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial }\mathit{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{v}}$

$\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{y}}=\frac{\partial f}{\partial u}\times \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\times \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}(-k)+\frac{\partial f}{\partial v}k=\mathit{k}\left(\begin{array}{c}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{v}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{f}}{\mathbf{\partial }\mathbf{u}}\end{array}\right)$

Deluppgift a) har jag fått rätt på, inga problem där. Däremot klarar jag inte av att förstå b) riktigt. Så här har jag gjort än så länge:

b) 

$2\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0 \iff 2\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\end{array}\right)$

Men jag förstår inte hur jag ska gå vidare härifrån. Genom att bara kolla på vad jag kan sätta k som så lossnar det inte för mig. Men jag har inte nyttjat att $f(x, 0)=\sin \left(x\right)$ för jag förstår inte riktigt hur jag ska tänka. Någon som kan hjälpa mig?