Transformation

I am Me skrev:

[...] kunde man istället sätta v=x/y eller v= y-x ??? 

Varför skulle du vilja göra det? Integranden är f(x) = y/x vilket betyder att beräkningarna blir enklare om du väljer v = y/x.

P.S Använd gärna "skärmklippverktyget" om du använder Windows när du ska dela bilder från din skärm.

I allmänhet har vi två mål med variabelbyten i dubbelintegraler:

1. Beskriva området enkelt
2. Beskriva integranden enkelt

eller rentav båda delarna. Det är värt att notera att det inte alls är så att det bara finns ett givet variabelbyte som gör det här bra för en viss integral; det kan finnas många.

I det första exemplet (tack matteFantomen för bilden på själva problemet) skulle man kunna tänka sig att genomföra variabelbytet med $v=x/y$ istället. Då skulle vi få funktionaldeterminanten (Jacobianen)

$\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=-\dfrac{1}{2v^2+8}$ (kom ihåg att vi ska ta absolutbeloppet av det här när vi använder det i integralen)

och området skulle nu beskrivas av $0\leq u\leq 4$, $1\leq v <>$ och integranden med $1/v$, vilket leder oss till integralen

$\displaystyle I=\int_0^4\int_1^\infty\frac{1}{v(2v^2+8)}\ du\ dv=...=\frac{1}{4}\ln\left(5\right).$

Vi fick alltså samma svar, om än med lite mera stök (gränserna får man fundera en smula längre på och så får man använda partialbråksuppdelning på integralen, om man inte kan ett visst knep...). Vi kunde också här ha använt elliptiska koordinater.

Som du märker behöver du inte hitta det finaste eller snyggaste variabelbytet och göra precis som facit, utan det finns flera vägar som leder till samma svar. Dina variabelbyten funkar precis lika bra som de som används i facit (pröva gärna att köra $u=x-y$ i det andra exemplet, det borde funka finfint!) även om räkningarna kanske blir aningen svårare, men det är ju bara finlir.