Transform-inverstransform

Min återtransform blir inte likt facit, kan någon visa hur denna ska lösas?

Jag har överföringsfunktionen $\frac{1}{s^{2} + 16}$ , och ur den ska det tas fram ett stegsvar. Vad jag lärt mig så ska överföringsfunktioner multipliceras med $\frac{1}{s}$ och sedan göras en inverstransform på det multiplicerade uttrycket. Därefter transformerar man alla delar till tidsform, för att få fram ett stegsvar.

Jag gör så här $\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^{2} + 16} = \frac{1}{s (s^{2} + 16)}$ delar isär uttrycket $\frac{1}{s} + \frac{1}{s^{2} + 16}$ .

Tar fram polerna för $s^{2} + 16 = 0 \Rightarrow s = \pm \sqrt{16} = s_{1} = 4, s_{2} = - 4$

Gör om uttrycket $\frac{1}{s} + \frac{1}{(s - 4) (s + 4)}$ Partialbråksuppdelar termen med polerna

$\frac{A}{s - 4} + \frac{B}{s + 4} \Rightarrow A (s + 4) + B (s - 4)$

$A s + B s = 0$

$4 A - 4 B = 1$ och tar ut A och B $B = A - \frac{1}{4} \Rightarrow A + A - \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow 2 A = \frac{1}{4} \Rightarrow A = \frac{1}{8}$ ger $B = - \frac{1}{8}$

Insatt på A och B i bråket $\frac{\frac{1}{8}}{s - 4} - \frac{\frac{1}{8}}{s + 4} \Rightarrow \frac{1}{8 s - 32} - \frac{1}{8 s + 32}$

Och så hela uttrycket igen $\frac{1}{s} + \frac{1}{8 s - 32} - \frac{1}{8 s + 32}$ Här känns det fel, för enligt facit så blir den färdiga återtransformen $\frac{1}{16} (1 - \cos (4 t)), f ö r t > 0$

Det är fel att påstå att

$\frac{1}{s(s^2+16)}$

är samma sak som

$\frac{1}{s} + \frac{1}{s^2+16}$ ;

prova till exempel $s=1$ vilket resulterar i att man påstår att $0 = 1$ .

Svara