Transform

Jag antar att det egentligen ska stå $T(x_0,x_1,x_2,x_3, \dots) = (x_1,x_2,x_3,x_4, \dots)$.

En bra början, om du inte har gjort det, är att skriva ut vad det betyder att ett tal $\lambda$ är ett egenvärde för $T$. Det betyder att $(x_1,x_2,x_3,x_4, \dots) = \lambda (x_0,x_1,x_2,x_3, \dots)$ så vi får villkoret att $\lambda$ ska uppfylla $x_i = \lambda x_{i-1}$, för $i=1,2, \dots$.

Åh tack! Då liknar det en x₁ = Ax₀

Vad bör jag göra nu?

Att $v=(v_0,v_1,v_2 \dots)$ är en egenvektor med egenvärdet $\lambda$ betyder enligt ovanstående att $v_1=\lambda v_0, v_2 = \lambda^2 v_0, v_3 = \lambda^3 v_0, \dots$. Då har vi $v=v_0(1, \lambda, \lambda^2, \lambda^3, \dots)$.

Nu kanske du kan börja fundera på vilka $\lambda$ som funkar som egenvärden, samt vilka egenvektorer som varje egenvärde har?

Om hela det där sambandet ska tänker jag att egenvärdena måste vara 1? Eller tänker jag helt fel? Kanske finns en bra teknik som jag inte vet om än

Om du reflekterar lite över det jag skrivit ovan så kan du dra slutsatsen att oavsett vad jag väljer för $\lambda$ så kommer en vektor på formen $v_0(1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\dots)$ vara en egenvektor med egenvärdet $\lambda$ (så länge som $v_0 \neq 0$. Om du inte tror mig, så testa transformera vektorn under $T$.

Slutsatsen blir då att alla reella tal $\lambda$ är egenvärden och egenvektorerna för ett givet $\lambda$ ges av $v_0(1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\dots)$ ($v_0 \neq 0$).

Ahaaa! Tack snälla! Superbra och tydlig förklaring!