Tråkigt bevis 2

Varför är n*(n+1)*(n+2) delbart med 3? n+(n+1)+(n+2) = 3n+3, men funkar det också för multiplikationen av tre följande tal?

Om du skriver ut några exempel på ( n, n+1, n+2) så tror jag att det klarnar.

Om du dessutom skriver ut en lista med de tal som är delbara med tre så tror jag att det syns tydligt.

Hej Bubo,

Jo, jag har testat med några tal och det funkar. Men varför, jag antar att jag måste bevisa det algebraisk...

Det är bra att du har testat, men har du gjort som jag föreslog?

Hej!

Produkten är delbar med 3 om en av faktorerna är delbar med 3.

Eftersom var tredje positivt heltal (med start från 1) är delbart med 3 så är en av de tre konsekutiva faktorerna $n$ , $n+1$ , $n+2$ delbar med 3.

Albiki

Bubo skrev :
Det är bra att du har testat, men har du gjort som jag föreslog?

Ahh därför....

Nej sorry, jag hade inte gjort det! 3, 6, 9, 12, 15, dom återkommer varje 3 steg...

Men det är inte givet att jag hade förstått själv innan jag såg vad albiki skrev :)

När man räknar upp talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,osv så inser man att varje tredje tal är alltid en multipel av 3. Om ditt första tal är $n_{1}$ så måste detta tal lämna en rest på 0, 1 eller 2 när det delas med 3 (Varför?).

För lite mer algebra involverat, kan du skriva talet $n$ som en multipel av 3, alltså $n_{1} = 3 k$ för något heltal $k$ , detta gör att ditt andra och tredje konsekutiva tal (på varandra följande), respektive, kan skrivas som $n_{2} = n_{1} + 1 = 3 k + 1$ och $n_{3} = n_{2} + 1 = n_{1} + 1 + 1 = n_{1} + 2 = 3 k + 2 .$ Multiplikationen blir då

$n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3} = (3 k) \cdot (3 k + 1) \cdot (3 k + 2) = 27 k^{3} + 27 k^{2} + 6 k = 3 (9 k^{3} + 9 k^{2} + 2 k) .$

Delbarheten med 3 är nu trivial.

Lirim.K skrev :
När man räknar upp talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,osv så inser man att varje tredje tal är alltid en multipel av 3. Om ditt första tal är $n_{1}$ så måste detta tal lämna en rest på 0, 1 eller 2 när det delas med 3 (Varför?).

Jag har ingen aning Lirim :/. För att det är dom enda värde som är möjliga som rest innan vi går till nästa gaffel av tal delbara med 3? (typ serien 0 till 3/ serien 4 till 6) Jag känner att den här del av kursen kommer att bli jätte jobbigt......................................................................

Om du delar alla tal mellan t.ex. 3 och 12 med 3, så får du följande rester

$3 / 3 = 1 + r 0 4 / 3 = 1 + r 1 5 / 3 = 1 + r 2 6 / 3 = 2 + r 0 7 / 3 = 2 + r 1 8 / 3 = 2 + r 2 9 / 3 = 3 + r 0 10 / 3 = 3 + r 1 11 / 3 = 3 + r 2 12 / 3 = 3 + r 0 ⋮$

Oavsett vilket tal du väljer så kommer resterna 0,1 och 2 att cykliskt upprepas.

Tack :) det är typ det jag menade med mina gafflar. Men såklart nu är det mycket bättre!

Tack alihoppa för att ni gör det mindre tråkigt att jobba med bevis!

Svara

Visa senaste svar