Tragisk algebradag 2

Vi fortsätter med hemskheter:

Jag sätter att den imaginära roten är $(z+bi)$ . Tack $pq$ -formeln magin, inser man direkt att $(z-bi)$ är också en rot.

Om man kastar hela uttryck under en liggande stol och uppför en polynom division med $(z^{2} + b^{2})$ får man:

$(- 9 + b^{2}) z - 18 + (7 - b^{2}) b^{2} = 0$ ... och jag vet inte vad jag ska göra med det. Jag hör fiolen av förtvivlan.

Här kommer ett kort av min algebraisk korrekt men kortlivad försök:

Polynomdivisionen förväntas producera nollpolynomet dvs ett polynom som är 0 oavsett vad z är.

Ett polynom är dock endast nollpolynomet om alla dess koefficienter är 0.

Hej!

Eftersom fjärdegradspolynomets koefficienter är reella tal så har polynomet rötter som är komplexkonjugerade par av komplexa tal; om $z = ib$ är en rot så är $z=-ib$ också en rot, vilket betyder att fjärdegradspolynomet är delbart med andragradspolynomet $z^2 +b^2\ .$ Det betyder att fjärdegradspolynomet kan skrivas

$z^4-z^3+7z^2-9z-18 = (z^2+b^2)(z^2+az+c)\ .$

Multiplicera de två polynomen och identifiera koefficienter för att få tre ekvationer med vilka du kan bestämma koefficienterna $b^2$ , $a$ och $c.$

Albiki

Hej!

Fjärdegradspolynomet kan skrivas

$z^4-z^3+7z^2-9z-18 = (z^2+9)(z^2-z-2)\ .$

Kontrollera detta. För att lösa fjärdegradsekvationen $z^4-z^3+7z^2-9z-18 = 0$ återstår det bara att lösa andragradsekvationen $z^2-z-2 = 0\ .$

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Fjärdegradspolynomet kan skrivas
$z^4-z^3+7z^2-9z-18 = (z^2+9)(z^2-z-2)\ .$
Kontrollera detta. För att lösa fjärdegradsekvationen $z^4-z^3+7z^2-9z-18 = 0$ återstår det bara att lösa andragradsekvationen $z^2-z-2 = 0\ .$
Albiki

Men huuuuur? Huuuuur kunde du röntgena problemet så snabbt?

Så du menar att:

$(z^{2} + b^{2}) (z^{2} + a z + c) \Leftrightarrow z^{4} + a z^{3} + c z^{2} + b^{2} z^{2} + b^{2} a z + b^{2} c a z^{3} = - z^{3} \to a = - 1 c + b^{2} = 7 \to c = - 2 b^{2} a = - 9 \to b = 3 b^{2} c = - 18 \to c = - 2$

ojojojojoj det fungerar, tack!

@Serious:

Jag vet att vi redan har pratat om nollpolynomet, men jag förstår inte vad du menar i detta fallet? Vad måste jag ersätta med vad så att det blir noll?

Resten du fick var ju

$(-9+b^2)z-18+(7-b^2) b^2=0$

Vänsterledet är en funktion som ska vara 0 för alla z. Detta sker endast om koefficienterna är 0.

$-9 + b^2 = 0$

$-18+(7-b^2) b^2=0$

Detta sker endast om $b = 3$

(Vi ignorerar $-3$ -lösningen då det bara korresponderar mot komplexkonjugatet)

Oj det var smidigt också.

Men fungerar det verkligen för 3?

$- 18 + (7 - b^{2}) b^{2} = 0 - 18 + (7 - 3^{2}) 3^{2} = - 18 + - 2 \cdot 9 \neq 0 u \tan - 36$

I bilden på pappret så är resten skriven korrekt men när du sedan TeX:ade och jag skrev av din TeX-rad så blev det ett teckenfel. Det borde tydligen vara ett minustecken framför parentesen

-18 - (7 -3^2)3^2

och inte plus.

Förlåt mig, jag är helt blind, men jag ser inte. Jag ser bara -18 + överallt, inklusive på pappret.

(Jag har faktiskt lite svårt att följa allt i bilden men tycker mig se något därrunt.

Tack, nu ser jag också!

Tack så mycket för allt hjälp!

Svara

Visa senaste svar