Trådpendel

Det går inte så bra just nu... Så fort jag förstår en uppgift så stöter jag på patrull på nästa.

En trådpendel har längden l, dess kula har massan m och den varierande vinkeln mellan tråden och lodlinjen är $α$ . Visa att spännkraften S i tråden är

S = mg (3 cos $α$ - 2 cos $α_{0}$ ), där $α_{0}$ är största vinkeln med lodlinjen.

Jag har, efter lite googlande, förstått att jag ska använda mig av energiprincipen. När vinkeln är som störst står kulan stilla, alltså är den kinetiska energin noll men lägesenergin större än när kulan är längre ner i pendeln.

Eftersom ingen energi tillförs är den totala energin lika stor och skillnaden i lägesenergi är lika stor som skillnaden i potentiell energi.

Jag kallar skillnaden i höjdled mellan pendelns vändläge och ett annat, slumpmässigt valt, läge i pendeln för h.

h = l ( $\cos α - \cos α_{0}$ )

$∆ E_{p} = m g h = m g l (\cos α - \cos α_{0})$

Sedan vet jag dock inte hur jag går vidare... Jag vet att $∆ E_{k} = ∆ E_{p}$ och att $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$

Då vet jag att $m g l (\cos α - \cos α_{0}) = \frac{m v^{2}}{2}$ vilket ger $g l (\cos α - \cos α_{0}) = \frac{v^{2}}{2}$ , men ser jag på formeln för S som jag ska bevisa så vill jag ju ha kvar m och bli av med l...

När pendeln är i rörelse så påverkas kulan av två krafter, en som uppkommer av gravitationen och en som uppkommer av att kulan färdas i en cirkel (vi kallar den centrifugalkraft och det går att utveckla men vi kan hålla oss till det för den här uppgiften). Uppgiften är att bestämma kraften i tråden när den är i rörelse och då måste du hitta ett uttryck för de båda krafterna vid en godtycklig vinkel.

Kraften som uppkommer av gravitationen är ju riktad rakt nedåt men du är intresserad av den delen som går i trådens riktning.Den får du fram med lite geometri.

Centrifugalkraften, som alltid är i trådens riktning rakt ut från cirkelrörelsens centrum, beräknas med hjälp av kulan hastighet enligt $m \times v^{2} / r$ där radien i det här fallet är l, dvs trådens längd.

Din uppgift blir alltså att lista ut $v^{2}$ och där är du på god väg. Ditt resonemang är korrekt, den initiala lägesenergin har omvandlats till en del rörelseenergi och den rörelseenergin ger dig ett uttryck för $v^{2}$ som du sen använder för att räkna ut centrifugalkraften. Lägg till rätt komposant av tyngdkraften (mg) så får du ett uttryck för kraften S i tråden. Prova och återkom om du behöver ytterligare ledning.

Tack, men jag kommer inte riktigt i mål. Centrifugalkraft har jag lite dålig koll känner jag. Har bara läst om centripetalkraft, men är centrifugalkraften alltid lika stor centripetalkraften men riktad åt motsatt håll?

Jag har ritat en bild på det hela, där kraften S går i trådens riktning, in mot cirkelns mitt, mg rakt nedåt, men delas upp i två komposanter, en i trådens riktning, fast utåt (alltså motsatt S), kallas F1, och en som är riktad vinkelrätt mot tråden, mot pendelns lodlinje, kallas F2.

När jag räknar ut F = ma, vilket är detsamma som F = mv^2/r, får jag väl den resulterande kraften, eller? Jag har inbillat mig att S och F1 i det här fallet alltid är lika stora och "tar ut" varandra och att den resulterande kraften alltså är F2, den som är riktad vinkelrätt mot tråden. Men det kanske inte stämmer? Är F1 och S alltid lika stora?

När jag räknar ut F = ma får jag F = 2mg( $\cos α - \cos α_{0})$ vilket väl då borde vara F2. Eftersom jag tänker mig att S = F1 (fast motsatta riktningar) så borde jag få veta S genom att räkna ut F1. Eftersom jag har en rätvinklig triangel med ena katetern 2mg(cos $α - \cos α_{0}$ ) och hypotenusan mg borde jag kunna få fram den andra katetern med pythagoras sats, men det blir helsnurrigt så tror jag är ute och cyklar...

Vad centrifugalkraft är blir en längre diskussion och i det här sammanhanget är vi bara intresserade av vad som påverkar kulan och därmed kraften i snöret och det är centrifugalkraften (som motverkas av en centripetalkraft riktad inåt som du skriver). Vill du gräva dig ner i teorin så kan du nog hitta en del matnyttigt på Wikipedia t ex men det är inte nödvändigt för det här exemplet.

Du har ju två samverkande krafter, den som beror på gravitationen g och centrifugalkraften F2 som du räknat ut. Gravitationskraften mg verkar ju rakt nedåt så den komponent som verkar i trådens riktning är mg $\cos α$ som du kallar F1

Lägg ihop dem så får du ditt svar.

Okej. Jag är med på att kraften jag kallar F1 är mg cos $α$ , det var faktiskt det första jag räknade ut på den här uppgiften...

Men jag misstänker att S är något annat än det jag tänker mig. Eller... Jag ser ju att det i vändpunkten ser rätt ut. För då blir det ju mg (3 cos $α_{0} - 2 \cos α_{0}) = m g \cos α_{0}$

Men varför ska jag lägga ihop F1 och F2 för att få S i alla andra lägen? Det är nog det jag inte förstår.

För att det är två krafter som påverkar kulan när den är i en cirkulär rörelse, dels tyngdkraften och dels centrifugalkraften, och det är summan av dem som hålls emot av spännkraften i snöret. För att förstå vilken kraft du har i snöret så måste du räkna ut den komponsant som verkar i snörets riktning. När det gäller centrifulakraften (F2) är det lätt för den verkar alltid i snörets riktning och när det gäller tyngkraften har du redan räknat ut den (F1) så kraften i snöret S blir då F1 + F2

Tillägg: I vändpunkten är hastigheten på kulan 0 och därmed är centrifugalkraften 0 så det enda som påverkar kulan är tyngdkraften mg rakt nedåt och därmed $m g \times \cos (α)$ i trådens riktning.

Epersson88 skrev:
Men varför ska jag lägga ihop F1 och F2 för att få S i alla andra lägen? Det är nog det jag inte förstår.

Skilj på radiell- och tangentiell led. I radiell led ska den resulterande kraften vara lika med $mv^2/R$ . Eftersom $R=l$ ska alltså

$\displaystyle S-mg\cos(\alpha)=\frac{mv^2}{l}$

Redan i ditt första inlägg tog du fram ett uttryck för $\frac{v^2}{l}$ och alltså blir

$S=mg(3\cos(\alpha)-2\cos(\alpha_0))$

Tänk på att kulan inte befinner sig i jämvikt. Kulan genomgår heller inte en rotationsrörelse med konstant vinkelhastighet. Tvärtom accelereras kulan i såväl radiell- som tangentiell led.

Det du lärt dig är att kraftresultanten $F$ i radiell led ska vara lika med centripetalaccelerationen gånger massan, dvs $F=\frac{mv^2}{R}$

Svara

Visa senaste svar