topologi, slutna primtal

Hur det kan vara en undergrupp förstår jag inte. Står det exakt så i uppgiften? En grupp har en operation och ett identitetselement och i R är dessa om inget sägs addition respektive 0 (men man kan införa andra om man vill). 0 ingår inte i P.

Måste menat delmängd och inte undergrupp. Även då så behöver man definiera vilken topologi det rör sig om, men får anta att det rör sig om standardtopologin med bollar. 

Följer mer av det allmänna att primtalen utgör isolerade punkter separerade från varamdra och sådana mängder är alltid slutna.

Börja med att bevisa att en punktmängd {1}-är sluten och försök ta steget därifrån till en mängd av punkter.

det kan ha blivit lite fel i översättningen då frågan är på engelska

Prove the statement: The set P of all prime numbers is a closed subset of R but not an open subset of R.

så man ska alltså visa att den är sluten men även att den inte är öppen.

Sedan är det väl så att alla singelmängder,(singleton) $\left\{x\right\}$ är slutna, och kan man då av detta säga att mängden av alla primtal som då är en mängd bestående av dessa singlemändger är sluten? 

men hur ska man sedan bevisa att mängden inte heller är öppen?

Man måste vara lite förstiktig men poängen är att metoderna man använder för att bevisa slutenhet/ickeöppenhet för singletons kan användas här. 

Om du kan ett bevis för det så bör du kunna modifiera det för primtalsmängden.

Set och subset översätter man med mängd och delmängd. Grupp är ett annat begrepp (heter group på engelska). Jag antar att "rum" som det stod i ett annat inlägg också bara skulle vara "mängd", för där fanns samma problem.

Jocke011 skrev:

det kan ha blivit lite fel i översättningen då frågan är på engelska

Prove the statement: The set P of all prime numbers is a closed subset of R but not an open subset of R.

så man ska alltså visa att den är sluten men även att den inte är öppen.

Sedan är det väl så att alla singelmängder,(singleton) $\left\{x\right\}$ är slutna, och kan man då av detta säga att mängden av alla primtal som då är en m ängd bestående av dessa singlemändger är sluten? 

men hur ska man sedan bevisa att mängden inte heller är öppen?

 Översättning:

Bevisa påståendet: Mängden P av alla primtal är en sluten delmängd av R men inte en öppen delmängd av R. 

Förslag: Mängden P kan skrivas som en uppräknelig union av slutna en-punktsmängder i R. Gäller det att en uppräknelig union av slutna mängder själv är en sluten mängd? Går det att omsluta ett primtal med en öppen boll som ligger helt inne i P? Om inte, så är P ej en öppen mängd. 

Det jag vet är att varje en-punktsmängder i R är slutna och komplementet till enpunktsmängden är öppen. Sedan gäller det väl även att en union av slutna mängder är sluten?

Jocke011 skrev:

Det jag vet är att varje en-punktsmängder i R är slutna och komplementet till enpunktsmängden är öppen. Sedan gäller det väl även att en union av slutna mängder är sluten?

 Fast varför vet du det? Vad var beviset för det påståendet?

Gällande "Sedan gäller det väl även att en union av slutna mängder är sluten" så stämmer det delvis då en union av ett ändligt antal slutna mängder 

$C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_n$

är sluten, då komplementet av en sådan union är en skärning av öppna mängder 

$(C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_n^c = C_1^c \cap C_2^c \cap ... \cap C_n^c$

och en skärning av en ändling samling öppna mängder är alltid öppen per ett av topologiaxiomen. 

MEN en godtycklig union av slutna mängder, en union med oändligt många mängder, måste inte nödvändigtvis vara sluten. Ta mängden av de positiva heltalens multiplikativa inverser: 

$M = \{1/n; n \in {1,2,3,...}\} = \bigcup_{i = 1}^\infty \{1/n\}$

Där denna mängd inte är sluten i R eftersom punkten $0$ ligger utanför mängden, $0 \in M^c$ men $0$ har ingen öppen omgivning som inte skär $M$ då alla intervall man försöker sätta runt 0 kommer inkludera något tal 1/n där n är tillräckligt stort, så komplementet kan inte vara öppen och därmed är M inte sluten. 

Man kan få till beviset för att P är slutet genom att nyttja att primtalen alltid är separerade från varandra med ett avstånd 2 och därmed inte kan bli tätpackade likt i M vilket är vad som skapade problem där men man kan inte bara ta två elementära satser och kombinera dem, man måste vara lite mer kreativ och formulera ett mer komplett bevis -- som jag säger gärna inspirerat av hur man bevisar att singletons är slutna. 

om man hade valt mängden M är alla positiva heltal, hade mängden då varit sluten i R eftersom punkten 0 då inte hade räknats med? och man då hade börjat med 1 som är med.

Alla delmängder av heltalen är slutna i R med avseende på standardtopologin -- men poängen här är att utveckla en metod för att kunna bevisa det. 

Jag har föreslagit att du ska kolla på ett standardbevis för --- eller formulera ett eget bevis för -- varför singletons är slutna (och inte öppna) i R  som en start för det här beviset ganska många gånger. Har du gjort det?

att singletons är slutna är väl att man kan stänga in den tex kan man ju stänga in $\left\{x\right\}$genom att hitta ett epsilon sådant att man stänger in x: $\left[x-\epsilon ,x+\epsilon \right]$

Jocke011 skrev:

att singletons är slutna är väl att man kan stänga in den tex kan man ju stänga in $\left\{x\right\}$genom att hitta ett epsilon sådant att man stänger in x: $\left[x-\epsilon ,x+\epsilon \right]$

Nja, då vore mängden begränsad("bounded") men det är något annat än sluten("closed"). Man kan alltid stänga in alla mängder i intervall* men öppenhet/slutenhet handlar om vad dessa intervall skär. Kontrollera dina definitioner. 

*öppna intervall i bred mening alltså