topologi, öppen eller stängd

Hej

jag har en uppgift som handlar om delmängder som man ska avgöra om de är öppna eller stängda och förstår inte helt hur man ska avgöra om dom är öppna, stängda eller varken eller.

Uppgiften är:

Låt A= $(0, \infty)$ vara ett underrum av $ℝ^{1}$ . Klassificera följande delmängder som antingen öppna, stängda eller varken öppna eller stängda, i A och i $ℝ^{1}$

a) $[a, b]$

b) $| a, b)$

c) $(a, b)$

Jag vet att om A är ett underrum till X så gäller att om U är öppen i A och A är öppen i X så är U också öppen i X, och det samma gäller om U är stängd i A.

I denna uppgift ska man alltså komma fram till att i fallet a så är $[a, b]$ stängd i både A och $ℝ^{1}$ , för b så är delmängden varken öppen eller stängd i A eller $ℝ^{1}$ och i c så är delmängden öppen i både A och $ℝ^{1}$ .

Jag förstår varför vi får samma svar för A och $ℝ^{1}$ enligt definitionen ovan men jag är inte helt med på hur man vet när den är öppen, stängd eller varken eller.

Hej!

En mängd M är öppen i A om det går att omsluta varje punkt i M med en öppen boll som ligger helt inuti $A\cap M$ .
En mängd N är sluten i A om dess komplementmängd $A\setminus N$ är en öppen mängd.

Intervallet $[a,b]$ ligger utanför $(0,\infty)$ om $b<>$ så då kan $[a,b]$ inte vara sluten i $A$ ; intervallet är däremot slutet i $(-\infty,\infty)$ .

$[a,b]$ är samma sak som att $a\le x\le b$ . Det innebär att talen a och b ingår i definitionsmängden. Definitionsmängden har ett största och ett minsta värde.

$(a,b)$ är samma sak som att $a<><>$ . Det innebär att talen a och b inte ingår i definitionsmängden. Definitionsmängden saknar ett största eller ett minsta värde.

Ett intervall som är öppet i ena änden och stängt i den andra änden är varken stängt eller öppet (ibland kallas det halvöppet). Antar att du menar $[a,b)$ på b-uppgiften och inte $|a,b)$ som du skrev.

Minnesregel - $[...]$ går ända ut i hörnen, så själva gränserna ingår, medan $(...)$ sneddar förbi hörnen, så själva gränserna är inte med.

Historiskt har man även använt en bakvänd klammer i stället för parentes här: (a,b) skrivs då ]a,b[.

Albiki skrev:
Hej!
En mängd M är öppen i A om det går att omsluta varje punkt i M med en öppen boll som ligger helt inuti $A\cap M$ .
En mängd N är sluten i A om dess komplementmängd $A\setminus N$ är en öppen mängd.
Intervallet $[a,b]$ ligger utanför $(0,\infty)$ om $b<>$ så då kan $[a,b]$ inte vara sluten i $A$ ; intervallet är däremot slutet i $(-\infty,\infty)$ .

får vi alltså att $[a, b]$ är sluten eftersom om något av talen a och b är mindre än noll kommer den inte att kunna omslutas av snitten mellan $[a, b]$ och A?

men hur vet vi att $(a, b)$ är öppen? Hur vet vi att man kan omsluta varje punkt i (a,b) bara för att a och b inte ingår?

Står det något i uppgiften om vad a och b är för tal?

Nu måste jag ställa en dum fråga: kan (0, $\infty$ ) vara ett underrum till R¹? Det finns ju inget 0-element.

Laguna skrev:
Nu måste jag ställa en dum fråga: kan (0, $\infty$ ) vara ett underrum till R¹? Det finns ju inget 0-element.

Det stod inte (0, $\infty$ ) , det stod [0, $\infty$ ]. Då ingår 0-elementet.

Smaragdalena skrev:
Laguna skrev:
Nu måste jag ställa en dum fråga: kan (0, $\infty$ ) vara ett underrum till R¹? Det finns ju inget 0-element.
Det stod inte (0, $\infty$ ) , det stod [0, $\infty$ ]. Då ingår 0-elementet.

Hum? Det står (0, i både den inledande frågan och i Albikis svar. Albiki säger inte att A är ett underrum, men frågan gör det.

Oj, här såg jag fel. Det var några rader längre ner det var hakparenteser, och så i mitt minne.

Jocke011 skrev:
Albiki skrev:
Hej!
En mängd M är öppen i A om det går att omsluta varje punkt i M med en öppen boll som ligger helt inuti $A\cap M$ .
En mängd N är sluten i A om dess komplementmängd $A\setminus N$ är en öppen mängd.
Intervallet $[a,b]$ ligger utanför $(0,\infty)$ om $b<>$ så då kan $[a,b]$ inte vara sluten i $A$ ; intervallet är däremot slutet i $(-\infty,\infty)$ .
får vi alltså att $[a, b]$ är sluten eftersom om något av talen a och b är mindre än noll kommer den inte att kunna omslutas av snitten mellan $[a, b]$ och A?
men hur vet vi att $(a, b)$ är öppen? Hur vet vi att man kan omsluta varje punkt i (a,b) bara för att a och b inte ingår?

Intervallet $[a,b]$ är en sluten mängd i $(-\infty,\infty)$ på grund av att dess komplement $(-\infty,\infty)\setminus [a,b]$ är en union av två öppna mängder $(-\infty,a)$ och $(b,\infty)$ ; en union av öppna mängder är själv en öppen mängd.

Intervallet $(a,b)$ är en öppen mängd på grund av att den är ett snitt av de två öppna mängderna $(-\infty,a)$ och $(-\infty,b)$ ; ett snitt av öppna mängder är själv en öppen mängd.

Svara

Visa senaste svar