Topologi och metrics

Till att börja med. Låt oss meditera lite över vad ekvivalensen egentligen betyder. Jag hatar dubbelolikheter, så i mitt huvud skriver jag genast om detta till två stycken olikheter:

  $d_1(x,y)\leqslant \frac{1}{c} d_2(x,y)$

  $d_2(x,y)\leqslant C d_1(x,y)\,.$

Ett sätt att tolka den första olikheten är att säga att om $x$ och $y$ är nära varandra $d_2$-metriken (så att $d_2(x,y)$ är nära 0), så kommer de även att vara nära varandra i $d_1$-metriken, eftersom $d_1$ aldrig kan vara mer än $1/c$ gånger så stort om $d_2$.

Den andra olikheten kan tolkas på motsvarande sätt.

Problemet. Vi har antagit att $U\subseteq X$ är öppen med avseende på $d_1$-metriken, och vill visa att $U$ då måste vara öppen med avseende på $d_2$-metriken. 

Sättet vi gör detta på, är att låta $a\in U$ vara en godtycklig punkt, och sedan visa att det finns vad jag brukar kalla lite "wiggle room" runt $a$. Alltså vi vill hitta någon liten radie $R>0$ sådan att om vi håller oss inom den radien (med avseende på $d_2$), så kommer vi garanterat inte trilla utanför mängden $U$.

Jahapp, hur hittar man en sån radie då?

Precis som du är inne på så vet vi ju redan att det finns en sådan radie med avseende på $d_1$ eftersom $U$ är öppen med avseende på $d_1$. Vi kan kalla denna radie $r>0$.

Kom ihåg tolkningen: om vi håller oss inom denna raide $r$ (med avseende på $d_1$) så kommer vi inte trilla utanför $U$. Symboliskt kan vi uttrycka detta precis som du gjorde:

   $d_1(x,a)<r\Longrightarrow x\in U\,.$

Tricket nu är att välja vår $d_2$-radie $R$ så att vi håller oss inom $d_1$-wiggle roomet. Och det är inte så svårt. Kom ihåg att $d_1$ ju begränsas av vad $d_2$ enligt olikheterna som vi gick igenom ovan.

Med bakgrund av det väljer vi att hålla oss inanför radien $R=cr$ avseende på $d_2$. Varför slänger jag in ett $c$ där? Jo, om $d_2(a,x)<cr$ så gäller nämligen

   $d_1(a,x)\leqslant \frac{1}{c}\cdot d_2(a,x)<\frac{1}{c}\cdot cr=r\,,$

vilket ju garanterade att $x\in U$. 

Eftersom vår punkt $a\in U$ valdes godtyckligt, så konstaterar vi att det går att hitta sådant här $d_2$-wiggle room runt alla punkter i $U$, och drar slutsatsen att $U$ måste vara öppen med avseende på $d_2$. Tada!

Alternativ notation. Med din lärares notation så kan $d_1$-wiggle roomet uttryckas som att $B_r^{(d_1)}(a)\subseteq U$. Att det finns plats ett $d_2$-wiggle room innanför kan uttryckas som att $B_{cr}^{(d_2)}(a)\subseteq B_r^{(d_1)}(a)\subseteq U$.

Var detta någorlunda begripligt? Om inte, så är det bara att säga till, så försöker vi förklara bättre.

Några följdfrågor att fundera på:

• Kan du visa omvändningen, dvs. att om $U\subseteq X$ är öppen med avseende på $d_2$, så är $U$ öppen även med avseende på $d_1$. (Beviset kommer se nästan likadant ut!)
• Kan du ge exempel på några olika men ekvivalenta metriker på $\mathbb{R}^n$?

Aahaa tack!! :D