Topologi och baser (Matematik/Universitet)

Frågan är om det är en bas för en topologi. Kan du förutsätta att de menar en bas för standardtoplogin för R?

PATENTERAMERA skrev:
Frågan är om det är en bas för en topologi. Kan du förutsätta att de menar en bas för standardtoplogin för R?

Du kan bevisa och använda följande Lemma.

En samling delmängder B till X är en bas för en topologi för X om och endast om

1) $\cup$ B = X, och

2) om B₁ och B₂ $\in$ B och om x $\in$ B₁ $\cap$ B₂ så finns det en mängd B $\in$ B sådan att x $\in$ B $\subset$ B₁ $\cap$ B₂ .

Jag försöker och återkommer. Jag tror att jag måste anta att det är en godtycklig topologi.

Jag försökte att ta unionen av två element i B ( för att få en förståelse av B), men förstår inte riktigt hur den blir. Var kommer (a,b) in i intervallet? Eller är det att B är punkterna (a,b) som tillsammans blir (-oändligheten,1)? Då kan ju unionen aldrig bli R?

Tinelina skrev:
Jag försökte att ta unionen av två element i B ( för att få en förståelse av B), men förstår inte riktigt hur den blir. Var kommer (a,b) in i intervallet? Eller är det att B är punkterna (a,b) som tillsammans blir (-oändligheten,1)? Då kan ju unionen aldrig bli R?

Jag tolkar det som att (a , b) är ett intervall där ändpunkterna a och b inte ingår.

Ta ett godtyckligt värde x i R, det borde då gå att hitta ett element b i B så att x ligger i b. Så unionen av alla element i B blir R.

B kan inte generera standardtopologin. Tex (-9 , -8) är inte unionen av några element i B, men är öppet i standardtopologin.

Tinelina skrev:
Jag försökte att ta unionen av två element i B ( för att få en förståelse av B), men förstår inte riktigt hur den blir. Var kommer (a,b) in i intervallet? Eller är det att B är punkterna (a,b) som tillsammans blir (-oändligheten,1)? Då kan ju unionen aldrig bli R?

Jag tolkar det som att man menar

$B = {(- \infty, 1)} \cup {(a, b) | a, b \in ℝ, 0 < a < b}$

Men notationen är ju inte helt klar.

Hej,

Definiera topologin $\mathcal{T}$ som topologin genererad av familjen $\mathcal{B}$ ; då är punkterna 1 och 2 trivialt uppfyllda.

Albiki skrev:
Hej,
Definiera topologin $\mathcal{T}$ som topologin genererad av familjen $\mathcal{B}$ ; då är punkterna 1 och 2 trivialt uppfyllda.

En bas för en topologi T på en mängd X är en familj B av delmängder till X sådan att varje element i T kan uttryckas som en union av element från B.

Varje familj A av delmängder till X kan genera en topologi, med vilket vanligen avses den minsta topologi som innehåller A. Denna topologi är unik, jag misstänker dock att en topologi kan ha flera olika baser.

Men, som jag förstår det, varje familj A av delmängder till X är inte en bas för en topologi.

Lemmat som jag pekade på hittade jag i en bok om om differentialgeometri och lemmat verkade lämpat för just detta problem.

Dock hade boken inget bevis. Så om detta inte är en välkänd sats så kanske man inte skall använda den utan bevis.

Jag tittade på Wikipedia (engelsk version), och de hade väldigt bra info om detta.

Lemmat nämndes som en fundamental egenskap hos en bas, så jag antar att det kan anses känt.

Det pekades ut att ett tillräckligt villkor för att att uppfylla punkt 2 av lemmat var att B är sluten under snitt mellan element i B. Dvs b1 och b2 $\in$ B $\Rightarrow$ b1 $\cap$ b2 $\in$ B. Vilket ser ut att vara fallet i vårt exempel.

Willard (General Topology) definierar en bas B för ett topologiskt rum (X, $τ$ ) på följande sätt:

B $\subset$ $τ$ , sådan att

$τ$ = ${\cup C | C \subset B}$ .

Jag tror att detta är den korrekta definitionen. Dvs elementen i B skall vara öppna mängder i topologin.

Willard har lemmat som ett teorem och har även ett relativt utförligt bevis.

En del böcker verkar dock ha lemmat som definition av begreppet bas.