Topologi, mängden alla reella tal

Hej

Jag skulle behöva hjälp med att förstå hur man ska få fram unionen och snittet av en mängd med alla reella tal.

Uppgiften är:

Låt $ℝ$ vara mängden av alla reella tal. Visa att följande delmängd av $ℝ$ är en topologi.

$τ_{1}$ består av $ℝ, \emptyset$ och varje interval (-n,n) för n positiva heltal.

Jag förstår att det första kriteriet att $ℝ$ och $\emptyset$ ingår är uppfyllt, men hur ska man göra för att se att unionen och snittet av intervallet (-n,n) är uppfyllt?

För att få fram snittet blir det ju bara att tar man två tal så blir väl snittet tomt.

Jag fick fram följande formel för snittet och unionen enligt:

snittet= $\cap_{i = 1}^{n} E_{i} \in τ$

unionen = $\underset{α}{\cup} E_{α} \in τ$

Vad är ditt E för något?

Snittet är nästan aldrig tomt: [-4,4] $\cap$ [-7,7] = [-4,4].

Hej!

En delmängd till $\mathbb{R}$ kan aldrig vara en topologi på $\mathbb{R}$ ; en topologi på $\mathbb{R}$ är en särskild samling av delmängder till $\mathbb{R}$ .

Samlingen som du betecknar $\tau_1$ är $\{\mathbb{R}, \emptyset, ...\}$ där $...$ står för alla öppna intervall $(-n,n)$ där $n$ är ett positivt heltal.

Unionen av intervallen (-9,9) och (-5,5) är lika med intervallet (-9,9).
Unionen av intervallen (-9,9) och (-10,10) är lika med intervallet (-10,10).
Snittet av intervallen (-9,9) och (-5,5) är lika med intervallet (-5,5).
Snittet av intervallen (-9,9) och (-10,10) är lika med intervallet (-9,9).

Vad säger dig detta om union av godtyckliga sådana intervall?

Vad säger dig detta om snittet av ändligt många sådana intervall?

Albiki skrev:
Unionen av intervallen (-9,9) och (-5,5) är lika med intervallet (-9,9).
Unionen av intervallen (-9,9) och (-10,10) är lika med intervallet (-10,10).
Snittet av intervallen (-9,9) och (-5,5) är lika med intervallet (-5,5).
Snittet av intervallen (-9,9) och (-10,10) är lika med intervallet (-9,9).
Vad säger dig detta om union av godtyckliga sådana intervall?
Vad säger dig detta om snittet av ändligt många sådana intervall?

Det visar att unionen av två delmängder också är en delmängd av $ℝ$ och därmed tillhör $τ$ och samma sak med snittet av två delmängder till $ℝ$ , men hur bevisar man att det gäller för samtliga tal- n,n?

Svara

Visa senaste svar