Topologi/algebra: definition av rand
Är definitionen med epsilonbollar mindre generell än den som använder "omgivningar"? Det lilla epsilonet och bollen antar att det finns en metrik, men det behöver inte finnas? Eller behövs en norm?
Ungefär som JohanB sa i min andra tråd om "omgivningar" i topologiska rum https://www.pluggakuten.se/trad/analys-metriska-rum-en-generalisering-av-r/
Normerade rum, metriska rum, och topologiska rum bildar en slags hierarki i meningen
mängden av alla normerade rum ⊂ mängden av alla metriska rum ⊂ mängden av alla topologiska rum
Eller jao, egentligen är det inte helt formellt korrekt. Kanske man snarare borde säga att :
- varje norm kan definiera en metrik, [[Görs konstruktivt genom att ta d(x,y)=||x-y||]], men en metrik kan inte (alltid) användas för att definiera en norm.
- varje metrik kan användas för att definiera en topologi, men en topologi kan inte (alltid) användas för att definiera en metrik. [[Gör konstruktivt genom att definiera öppna mängder genom bollar. ]]
I denna mening är definitioner med omgivningar och axiomatiskt öppna mängder mer generell och definitioner med metriker mindre generell.
I R^n-, L^2, eller matrisrummen som GL(n) det dock mest en fråga om perspektiv. Dessa rum har ju mycket mer struktur än vad som man får ut av att bara tala topologi och vissa egenskaper är tolopogiska medan för andra så måste man uppmärksamma detaljer hos deras normer eller metriker.
Randbegreppet kräver bara topologi.
Tack
Så kräver epsilonbollsdefinitionen norm eller metrik?
Bolldefinitioner kräver bara metrik.
Okej tack!
