Topologi (Matematik/Universitet)

Hej!

Innan jag ens försöker mig på det här tänker jag säga det att jag inte är speciellt påläst vad gäller topologi, så om någon har bättre koll på det här än mig, vänligen rätta mig.

Låt $A$ vara den mängd vi vill definiera en topologi $T$ på.

Fråga 1 vet jag inte ett smidigt sätt utan att testa sig fram, det borde inte finnas alltför många topologier man kan definiera på den mängden (vad jag vet).

Vad gäller fråga 2 så tror jag att man brukar definiera de öppna mängderna som de element som ingår i topologin, alltså alla element som ingår i $T$ (man kan även definiera topologier med slutna mängder istället för öppna om man vill).

Exempelvis är inte alla "singlets" (på svenska heter det...?) öppna i den triviala topologin, $T_{t}$ , eftersom de enda öppna mängderna då är $A$ samt den tomma mängden (som då också är "closed").

I den diskreta topologin, $T_{d}$ , är å andra sidan alla "singlets" öppna, eftersom den diskreta topologin är mängden av alla delmängder av $A$ . Alltså ingår exempelvis mängderna ${1}, {2}, {3}$ i $T_{d}$ , vilka då är element i $T_{d}$ .

Den grundläggande operationen inom topologier är att unioner och skärningar av öppna mängder är öppna mängder.

Detta leder till en idé om att man för att beskriva en topologi egentligen inte behöver lista alla mängder i topologin utan endast en andel vilka "genererar" topologin.

Moffen berör detta i slutet. Om vi säger att en topologi innehåller alla singlets, {1}{2}{3}, ja då är den topologin garanterat mängden av alla delmängder

{}, {1},{2},{3},{1,2},{2,3},{3,1},{1,2,3}

eftersom du kan generera alla dessa genom att ta passande unioner av {1}{2}{3}.

Detta leder oss till att du kan systematiskt undersöka vilka möjliga topologier som finns genom att börja med ett urval av delmängder

säg

{2}, {1,2}

och fundera på vilka andra mängder du kan få genom att ta unioner och snitt dem emellan. Lite testande är inte skadligt även om man ska dra en slutsats från det.

Men då de triviala mängderna ingår i alla topologier, så innebär det att det finns "singlets" i alla topologier som inte är öppna (dvs tomma mängden)?

Tack så hemskt mkt för att du försöker i alla fall! Jag behöver all hjälp jag kan få!

Tinelina skrev:
Men då de triviala mängderna ingår i alla topologier, så innebär det att det finns "singlets" i alla topologier som inte är öppna (dvs tomma mängden)?

Om med de triviala mängderna du menar den tomma mängden och mängden du vill definiera en topologi på, då stämmer det att de måste ingå i alla topologier (på den mängden). Vad menar du med "så innebär det att det finns "singlets" i alla topologier som inte är öppna"?

Vad innebär det att en topologi är "öppen"?

Jag menar att det finns "singlets" som är slutna i alla topologier om den tomma mängden räknas som sluten. Så svar på fråga två är att alla singlets är öppna förutom tomma mängden?

Tinelina skrev:
Jag menar att det finns "singlets" som är slutna i alla topologier om den tomma mängden räknas som sluten. Så svar på fråga två är att alla singlets är öppna förutom tomma mängden?

Den tomma mängden är både sluten och öppen. Säg att vi har mängden M som vi vill definiera en topologi på, och för lätthetens skull väljer vi den triviala topologin (men det spelar ingen roll), då gäller att M och den tomma mängden är både öppna och slutna. Per (vår) definition är M och den tomma mängden öppna, men komplementet till M är den tomma mängden, vilket är komplementet till en öppen mängd, och alltså är den tomma mängden sluten. På samma sätt med M, komplementet till den tomma mängden är M, och eftersom den tomma mängden är öppen och M är komplementet till en öppen mängd, är den sluten. Man säger att de är "clopen sets" på engelska.

Menar du att ditt svar på fråga 2 skulle vara att alla singlets är öppna (i alla topologier?) förutom tomma mängden?

För det första tror jag inte att man brukar räkna den tomma mängden som en singlet, men har jag fel så rätta mig.

För det andra är inte alla singlets öppna i alla topologier man kan definiera på din mängd, vi hade ju exemplet där singlets inte är öppna i den triviala topologin.

Återigen, vänligen rätta mig om jag säger något fel ni som är mer kunniga inom ämnet.

Okej nu är jag helt lost, ursäkta mig.

Jag förstår att M och tomma mängden är "clopen"

Men exemplet du nämner i slutet, där singlets inte är öppna i triviala topologin... i den triviala topologin finns inga singlets (om man inte räknar tomma mängden som en).

Tinelina skrev:
Okej nu är jag helt lost, ursäkta mig.
Jag förstår att M och tomma mängden är "clopen"
Men exemplet du nämner i slutet, där singlets inte är öppna i triviala topologin... i den triviala topologin finns inga singlets (om man inte räknar tomma mängden som en).

Vi sa att alla öppna mängder är de mängder som är element i topologin.

Därmed gäller att singlets inte är öppna i den triviala topologin eftersom de inte är element i den triviala topologin.

I den diskreta topologin å andra sidan ingår alla singlets i topologin, och därför är de öppna i den diskreta topologin.

Jaahaaa tack!

Detta är min lösning nu, ni får gärna kolla så att jag har gjort rätt

Mycket bra början! Du har helt rätt i att det går att bilda exakt 29 stycken topologier på mängden $X=\{1,2,3\}$ , och att komma fram till det kräver verkligen att man är systematiskt och håller tungan rätt i mun. Så snyggt jobbat! (Om du är nyfiken finns en tabell på Wikipedia över hur många topologier som det går att bilda på $\{1,\ldots,n\}$ för $n$ upp till 10.)

Men resten av lösningen är tyvärr fel, och det beror helt enkelt på att du verkar ha gått i den klassiska fällan att tänka att alla mängder antingen är öppna eller sluten, så att om en mängd inte är öppen så måste den vara sluten.

Det är verkligen inte konstigt att tänka så, eftersom 'öppen' och 'sluten' ju fungerar som sådana där antingen-eller-ord i vardagen (om en dörr inte är öppen så betyder ju det att den är stängd, eller hur?).

Men i topologin fungerar det inte på det viset! Kom ihåg vad definitionena av 'sluten' säger:

Definition. Låt $X$ vara ett topologiskt rum. En delmängd $A\subset X$ sägs vara sluten om komplementet $X\setminus A$ är öppet i $X$ .

Detta är i allmänhet inte alls samma sak som att säga att alla mängder som inte är öppna är slutna.

För att ta ett välbekant exempel kan vi kolla på det topologiska rummet $\mathbb{R}$ (med den vanliga standardtopologin). Exempelvis är då $\varnothing\subset \mathbb{R}$ både sluten och öppen ('clopen' på engelska), medan $(0,1]\subset \mathbb{R}$ är varken sluten eller öppen. Är du med på varför?

I ditt fall verkar det som att du påstår att $\{a\}$ , $\{b\}$ och $\{c\}$ är slutna i $X$ med avseende på topologin $\tau_5=\{\varnothing, \{a,b\},X\}$ . Detta stämmer inte! Kom ihåg: för att avgöra slutenhet behöver man kontrollera om komplementen är öppna.

Det är visserligen sant att $X\setminus \{c\}=\{a,b\}$ är en öppen mängd (så $\{c\}$ är sluten), men varken $X\setminus\{a\}=\{b,c\}$ eller $X\setminus\{b\}=\{a,c\}$ är öppna (så varken $\{a\}$ eller $\{b\}$ är slutna).

Gå tillbaka och kolla igenom alla dina topologier igen, och se vad du kommer fram till den här gången.

Rätt svar

Rätt svar är att $\tau_{26}$ är den enda topologin där alla enpunktsmängderna är slutna.

Följdfråga: På mängden $\{1,2,\ldots,10\}$ kan man enligt Wikipedia bilda 8977053873043 stycken topologier. I hur många av dessa är samtliga enpunktsmängder slutna? (Med enpunktsmängderna menar jag mängderna $\{1\},\{2\},\ldots,\{10\}$ .)

Ahhaa taack så mycket! Jag förstår! Jag testar igen!