Tolka Sn
Uppgiften: jag behöver hjälp med uppgift 17.
Det jag undrar är hur vet man över och under gränserna för att räkna fram arean?
I facit de har räknat arean [1,2] .
Facit:
Jag är osäker på vad du menar med “övre och undre gränser”.
När jag tittar på uttrycket så ser jag en summa av n termer. För t ex n = 100 har vi
(0,02)(0,98)+(0,02)(0,96)+(0,02)(0,94)+ … +(0,02)(–0,98)+(0,02)(–1)
Man ser att de första 99 termerna tar ut varandra så att vi har –0,02 = –2/n kvar.
Det är lätt att föreställa sig hur mönstret består så att summan är –2/n som går mot noll när n går mot oändligheten.
Där kunde vi vara klara. Men problemkonstruktören går ett steg till. Hen beslutar att illustrera uttrycket med n rektanglar, var och en med bredd 2/n och med avtagande höjder från (nästan) 1 till 0, och därefter växande ned under x-axeln till “minus” 1.
Jag tror att man ska förstå att det inte finns något i själva uttrycket som kräver att vi placerar dessa rektanglar sida vid sida, den första mot y-axeln och sedan bort längs positiva x-axeln. Vi kunde ha slängt ut rektanglarna som (mycket smala) Memorybrickor på ett bord. Eller låtit alla stå ovanpå x-axeln; då kunde de ha illustrerat funktionen y = absolutbeloppet av (x–1).
Men, om man väljer att placera dem som en nedåtgående trappa, så kommer den trappan att få sammanlagda bredden av n stycken rektanglar, var och en med bredd 2/n. Trappbredden är alltså 2 gånger 2/n = 2. Vi får en trappstegsfunktion, som oavsett n, har bredd 2.
När n går mot oändligheten blir trappstegen allt mindre och vi får en illustration till linjen y = 1–x på intervallet 0 < x < 2. Min gissning är att syftet med hela cirkusen är att ge en förklaring till begreppet
[Integralen av (1–x)dx när x går från 0 till 2.]
Detta kanske är bra. Jag ska inte spekulera i författarens avsikter, men det känns som att hen går baklänges om det är integraler som är målet. Ett alternativ ha varit att börja med grafen till (1–x) i stället.
Eller så är avsikten att visa hur den givna summans gränsvärde kan beräknas. Fast i så fall tycker jag att man kunde ha struntat i rektanglarna och flyttat 2/n utanför summatecknet; att summan av parenteserna är minus 1 är inte så svårt att se. Och att 2/n gånger –1 går mot noll är också uppenbart.
För ett obeväpnat öga är värdet med uppgiften inte uppenbar. Din fråga om övre och undre gräns tycker jag inte har 1 svar, vi hade kunnat placera rektanglarna från –1 till 1 på x-axeln. Eller från 215 till 217.
Detta blev ett långt svar, hoppas det gav något.
Tack🌷🌷
