Tolka linjär operator m.h.a. egenvärden och egenvektorer

Vad frågas det efter? 

Dr. G skrev :

Vad frågas det efter? 

Oj vad klantigt av mig... Det som efterfrågas är en geometrisk tolkningen av den linjära operatorn 

Aha! 

Du ser att de du kallar E(0) och E(2) är en (ortogonal) bas i R2.

Komposanterna längs E(0) avbildas på 0. Det blir lite som en projektion på E(2). Sedan förlängs projektionen med en faktor 2. 

Det är min geometriska tolkning... 

Vill man vara lite mer "matematisk" kan man uttrycka det så här:

Eftersom A är en reell symmetrisk matris finns det en ortogonal matris T och en diagonalmatris D så att

$T^tAT=D$

Där diagonalelementen i D består av egenvärdena till A ($\lambda_1, \lambda_2$), T:s kolonner ($\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}$) är tillhörande (normerade) egenvektorer.

Vi kan lösa ut A (med $\lambda_1=0,\quad \lambda_2=2$)

$A=\lambda_1 \mathbf{e_1}\mathbf{e_1}^t+\lambda_2 \mathbf{e_2}\mathbf{e_2}^t=2 \mathbf{e_2}\mathbf{e_2}^t$

Nu känner vi igen $\mathbf{e_2}\mathbf{e_2}^t$ som matrisen för den ortogonala projektionen på underrummet som spänns av $\mathbf{e_2}$. Vi ser att Ax förlänger vektorn x med en faktor 2 och projicerar den på $\mathbf{e_2}$.

Mer allmänt gäller

$A=\lambda_1\mathbf{e_1}\mathbf{e_1}^t+...+\lambda_n\mathbf{e_n}\mathbf{e_n}^t$

Vilket alltså låter oss "genomskåda" en symmetrisk matris som en samling projektioner på egenrummen (om flera egenvärden är lika) och/eller egenvektorerna.

Hej!

En linjär operator gör två saker med en vektor:

• Roterar vektorn
• Förlänger vektorn
• Förkortar vektorn

Din operator skickar varje vektor till en vektor som ligger på den räta linjen

Basvektorn roteras vinkeln moturs och förlängs med faktorn

Basvektorn roteras vinkeln medurs och förlängd med faktorn

Albiki

Guggle skrev :

Vill man vara lite mer "matematisk" kan man uttrycka det så här:

Eftersom A är en reell symmetrisk matris finns det en ortogonal matris T och en diagonalmatris D så att

$T^tAT=D$

Där diagonalelementen i D består av egenvärdena till A ($\lambda_1, \lambda_2$), T:s kolonner ($\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}$) är tillhörande (normerade) egenvektorer.

Vi kan lösa ut A (med $\lambda_1=0,\quad \lambda_2=2$)

$A=\lambda_1 \mathbf{e_1}\mathbf{e_1}^t+\lambda_2 \mathbf{e_2}\mathbf{e_2}^t=2 \mathbf{e_2}\mathbf{e_2}^t$

Nu känner vi igen $\mathbf{e_2}\mathbf{e_2}^t$ som matrisen för den ortogonala projektionen på underrummet som spänns av $\mathbf{e_2}$. Vi ser att Ax förlänger vektorn x med en faktor 2 och projicerar den på $\mathbf{e_2}$.

Mer allmänt gäller

$A=\lambda_1\mathbf{e_1}\mathbf{e_1}^t+...+\lambda_n\mathbf{e_n}\mathbf{e_n}^t$

Vilket alltså låter oss "genomskåda" en symmetrisk matris som en samling projektioner på egenrummen (om flera egenvärden är lika) och/eller egenvektorerna.

Hej! Tack för ditt svar! Din slutsats är precis enligt facit (vektorn förlängs med en faktor 2 och projiceras på linjen y=x) men jag förstår tyvärr inte ditt resonemang. Vi har bara börjat gå igenom diagonalmatriser och den enda formel vi då sett är $T^{-1}AT=D$, vad är det för skillnad på den och $T^{t}AT=D$ ?

Du "löser ut A", vilket jag aldrig sett tidigare. Är det där en standardformel? Vad innebär $e_1 och {e_1}^t$, och hur ser man att svaret är en ortogonal projektion på underrummet (är det samma sak om delrum?) som spänns av $e_2$?

Sorry för alla frågor men jag vill verkligen förstå hur detta fungerar.