Tolka geometriskt mha egenvärden/vektorer den linjära avbildningen

Det första ekvationssystemet du löser (till egenvärdet 0) identifierar alla vektorer i planet med normal $(1,-2,2)$. Man säger att det är egenrummet till egenvärdet 0 (som har dubbel multiplicitet). Samtidigt betyder din ekvationslösning också att du har identifierat nollrummet till avbildningsmatrisen, ty $Au=0$ om $u$ ligger i planet du identifierat.

Det andra ekvationssystemet är rätt uppställt, men din lösning blir fel. Kanske har du slarvat under gausseliminationen?

Löser man det korrekt blir lösningen

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Vilket föga förvånande är normalen till planet, dvs en bas för det endimensionella värderummet, eller kolonnrummet till avbildningsmatrisen.

Redan efter första steget hade vi kunnat kunnat sluta oss till det eftersom egenvektorer, som motsvarar olika egenvärden till en reell symmetrisk matris, är ortogonala.

D4NIEL skrev:

Det första ekvationssystemet du löser (till egenvärdet 0) identifierar alla vektorer i planet med normal $(1,-2,2)$. Man säger att det är egenrummet till egenvärdet 0 (som har dubbel multiplicitet). Samtidigt betyder din ekvationslösning också att du har identifierat nollrummet till avbildningsmatrisen, ty $Au=0$ om $u$ ligger i planet du identifierat.

Det andra ekvationssystemet är rätt uppställt, men din lösning blir fel. Kanske har du slarvat under gausseliminationen?

Löser man det korrekt blir lösningen

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Vilket föga förvånande är normalen till planet, dvs en bas för det endimensionella värderummet, eller kolonnrummet till avbildningsmatrisen.

Redan efter första steget hade vi kunnat kunnat sluta oss till det eftersom egenvektorer, som motsvarar olika egenvärden till en reell symmetrisk matris, är ortogonala.

Aha, såg över det idag och ser nu att jag gjorde fel med gausseliminationen. Blev fel när jag dividerade med -8 från den första ekvationen, fick rätt svar nu.

Jag hänger med på det du skriver i din kommentar. I facit skriver de dock att den givna matrisen kan tolkas som ortogonal projektion på riktningen t(1,-2,2). Om jag förstår det rätt så menar de att om jag multiplicerar vilken vektor som helst ( även om den inte är en egenvektor ) av ordning 3 med matrisen i fråga, så kommer jag få den vektorns ortogonala projektion på vektorn t(1,-2,2). 

Om det är fallet så gör jag inte den kopplingen riktigt. Finns det något sätt att se på saken som gör det lättare, eller missförstår jag vad de menar?

Eftersom värderummet till matrisen bara är det endimensionella underrummet med basvektorn $\vec{n}$ kommer alla vektorer som matrisen multiplicerar hamna där, dvs

$A\vec{u}=c\vec{n}$

För något reellt tal  $c(\vec{u})$. Vad talet $c$ är kan man redan nu gissa. Lite löst kan vi ju säga att vi förlänger $\vec{u}$s komponent i normalvektorns riktning med en faktor 9 samtidigt som vi kastar bort de andra ortogonala komponenterna, det är vad egenrumsanalysen  ger oss.

Med "ortogonal projektion" av en vektor $\vec{u}$ på en vektor $\vec{n}$, låt oss säga $T(\vec{u})$, menar man i regel

$T(\vec{u})=\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}\vec{n}$

I vårt fall har vi istället

$\displaystyle \lambda\frac{\vec{u}\cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}\vec{n}=9T(\vec{u})$

Om du studerar matrisen $M=\frac{9}{||\vec{n}||^2}nn^T$, dvs den yttre produkten av normalen gånger normeringen inser du att du återfår matrisen

$M=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\-2 & 4 & -4 \\2 & -4 & 4\end{array}\right)$

D4NIEL skrev:

Eftersom värderummet till matrisen bara är det endimensionella underrummet med basvektorn $\vec{n}$ kommer alla vektorer som matrisen multiplicerar hamna där, dvs

$A\vec{u}=c\vec{n}$

För något reellt tal  $c(\vec{u})$. Vad talet $c$ är kan man redan nu gissa. Lite löst kan vi ju säga att vi förlänger $\vec{u}$s komponent i normalvektorns riktning med en faktor 9 samtidigt som vi kastar bort de andra ortogonala komponenterna, det är vad egenrumsanalysen  ger oss.

Med "ortogonal projektion" av en vektor $\vec{u}$ på en vektor $\vec{n}$, låt oss säga $T(\vec{u})$, menar man i regel

$T(\vec{u})=\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}\vec{n}$

I vårt fall har vi istället

$\displaystyle \lambda\frac{\vec{u}\cdot \vec{n}}{||\vec{n}||^2}\vec{n}=9T(\vec{u})$

Om du studerar matrisen $M=\frac{9}{||\vec{n}||^2}nn^T$, dvs den yttre produkten av normalen gånger normeringen inser du att du återfår matrisen

$M=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\-2 & 4 & -4 \\2 & -4 & 4\end{array}\right)$

Aha, ursäkta för sent svar, har inte fått tid att sätta mig med detta sedan sist.

Det jag missade var som du sa att värderummet för matrisen är ju bara t(1,-2,2). Det är nog en rätt viktig del av pusslet haha. Fick för mig att planet också var en del av värderummet och blev förvirrad.

Tack för hjälpen!