Tolka geometriskt mha egenvärden/vektorer den linjära avbildningen
Hej!
Har fastnat på följande uppgift:
Använd den information, som egenvärden och egenvektorer ger, för att geometriskt tolka den linjära avbildning, som ges av matrisen:
Såhär gör jag:
Hur ska då detta tolkas geometriskt? Jag förstår att om jag multiplicerar matrisen med egenvektorerna får jag en vektor som är parallell med den vektor jag multiplicerat med. Samma sak gäller alla vektorer i planet som jag fann för lambda = 0.
Enligt facit är dock den geometriska tolkningen att detta ger en ortogonal projektion på planet x1 -2x2 +2x3 = 0. Sen menar de också att (1,-2,2) som är planets normalriktningen är en egenvektor som ger en förlängning med faktor 9.
??????
Fattar noll. När egenvärdet var nio så var ju egenvektorn t(4,1,-1). Sen förstår jag inte heller hur man ska inse att avbildningen är en ortogonal projektion på planet?
Det första ekvationssystemet du löser (till egenvärdet 0) identifierar alla vektorer i planet med normal . Man säger att det är egenrummet till egenvärdet 0 (som har dubbel multiplicitet). Samtidigt betyder din ekvationslösning också att du har identifierat nollrummet till avbildningsmatrisen, ty om ligger i planet du identifierat.
Det andra ekvationssystemet är rätt uppställt, men din lösning blir fel. Kanske har du slarvat under gausseliminationen?
Löser man det korrekt blir lösningen
Vilket föga förvånande är normalen till planet, dvs en bas för det endimensionella värderummet, eller kolonnrummet till avbildningsmatrisen.
Redan efter första steget hade vi kunnat kunnat sluta oss till det eftersom egenvektorer, som motsvarar olika egenvärden till en reell symmetrisk matris, är ortogonala.
D4NIEL skrev:Det första ekvationssystemet du löser (till egenvärdet 0) identifierar alla vektorer i planet med normal . Man säger att det är egenrummet till egenvärdet 0 (som har dubbel multiplicitet). Samtidigt betyder din ekvationslösning också att du har identifierat nollrummet till avbildningsmatrisen, ty om ligger i planet du identifierat.
Det andra ekvationssystemet är rätt uppställt, men din lösning blir fel. Kanske har du slarvat under gausseliminationen?
Löser man det korrekt blir lösningen
Vilket föga förvånande är normalen till planet, dvs en bas för det endimensionella värderummet, eller kolonnrummet till avbildningsmatrisen.
Redan efter första steget hade vi kunnat kunnat sluta oss till det eftersom egenvektorer, som motsvarar olika egenvärden till en reell symmetrisk matris, är ortogonala.
Aha, såg över det idag och ser nu att jag gjorde fel med gausseliminationen. Blev fel när jag dividerade med -8 från den första ekvationen, fick rätt svar nu.
Jag hänger med på det du skriver i din kommentar. I facit skriver de dock att den givna matrisen kan tolkas som ortogonal projektion på riktningen t(1,-2,2). Om jag förstår det rätt så menar de att om jag multiplicerar vilken vektor som helst ( även om den inte är en egenvektor ) av ordning 3 med matrisen i fråga, så kommer jag få den vektorns ortogonala projektion på vektorn t(1,-2,2).
Om det är fallet så gör jag inte den kopplingen riktigt. Finns det något sätt att se på saken som gör det lättare, eller missförstår jag vad de menar?
Eftersom värderummet till matrisen bara är det endimensionella underrummet med basvektorn kommer alla vektorer som matrisen multiplicerar hamna där, dvs
För något reellt tal . Vad talet är kan man redan nu gissa. Lite löst kan vi ju säga att vi förlänger s komponent i normalvektorns riktning med en faktor 9 samtidigt som vi kastar bort de andra ortogonala komponenterna, det är vad egenrumsanalysen ger oss.
Med "ortogonal projektion" av en vektor på en vektor , låt oss säga , menar man i regel
I vårt fall har vi istället
Om du studerar matrisen , dvs den yttre produkten av normalen gånger normeringen inser du att du återfår matrisen
D4NIEL skrev:Eftersom värderummet till matrisen bara är det endimensionella underrummet med basvektorn kommer alla vektorer som matrisen multiplicerar hamna där, dvs
För något reellt tal . Vad talet är kan man redan nu gissa. Lite löst kan vi ju säga att vi förlänger s komponent i normalvektorns riktning med en faktor 9 samtidigt som vi kastar bort de andra ortogonala komponenterna, det är vad egenrumsanalysen ger oss.
Med "ortogonal projektion" av en vektor på en vektor , låt oss säga , menar man i regel
I vårt fall har vi istället
Om du studerar matrisen , dvs den yttre produkten av normalen gånger normeringen inser du att du återfår matrisen
Aha, ursäkta för sent svar, har inte fått tid att sätta mig med detta sedan sist.
Det jag missade var som du sa att värderummet för matrisen är ju bara t(1,-2,2). Det är nog en rätt viktig del av pusslet haha. Fick för mig att planet också var en del av värderummet och blev förvirrad.
Tack för hjälpen!