Tolka e^-i

Jag vet inte riktigt vad jag tycker om "tolkningen", du har ju bara skrivit upp definitionen. Om du vill ha det på formen $e^{iv}$ så vet du att $v=-1$. Uppgiften är att tolka $e^{-i}$, kan du kanske dra några kopplingar mellan $e^{-i}$ och enhetscirkeln? Jämför med det generella fallet $e^{iv}$ och kanske även $e^i$. 

Frågan var om alla saker jag skrivit stämmer, om de två sätten att skriva det blir lika med varandra?

Testa! Du vet att $\cos (-v)=\cos \left(v\right), \sin (-v)=-\sin \left(v\right)$, multiplicera både sidor med din nämnare och förenkla HL, och se om det stämmer. 

Ja, de stämmer.

Man kan se det genom att förlänga VL med konjugatet:

$\dfrac{1}{\cos(v)+i\sin(v)}\cdot\dfrac{\cos(v)-i\sin(v)}{\cos(v)-i\sin(v)}=\dfrac{\cos(v)-i\sin(v)}{\cos^2(v)+\sin^2(v)}=$ $\cos(v)-i\sin(v)=\cos(-v)+i\sin(-v)$

När man ser komplexa tal på formen $1/(a+ib)$ så översätter man nästan alltid till rektangulär form genom att förlänga med konjugatet $a-ib$ och använder Konjugatregeln.

    $1/(a+ib) = (a-ib)/(a^2-i^2b^2) = \frac{a}{a^2+b^2} +i\frac{-b}{a^2+b^2}.$

I ditt problem är $a = \cos v$ och $b = \sin v$ så Trigonometriska ettan ger $a^2 + b^2 = 1$, så 

    $1/(\cos v + i\sin v) = \cos v + i(-\sin v)$.

Sedan är cosinusfunktionen jämn och sinusfunktionen udda så $\cos v = \cos (-v)$ och $-\sin v = \sin (-v)$.