Tipsa mig om svårare uppgifter inom derivata

f(x) = x^x

PATENTERAMERA skrev:

f(x) = x^x

Dur deriverar du den på Ma3-nivå, d v s utan kedjeregeln, produktregeln eller kvotregeln?

Smaragdalena skrev:

PATENTERAMERA skrev:

f(x) = x^x

Dur deriverar du den på Ma3-nivå, d v s utan kedjeregeln, produktregeln eller kvotregeln?

Nej det blir nog för svårt. Men att studera de regler som du nämner är ju ett bra tips för den som vill lära sig mer om derivata.

Ett mejeriföretag vill köpa in mjölkpaket i form av rätblock med kvadratisk basyta som rymmer 1 liter mjölk. Varje kvadratdecimeter av förpackningen kostar 25 öre att köpa. Övriga kostnader uppgår till 3 kronor per mjölkpaket. Mejeriet säljer mjölken för 10 kr/liter.

a) Företaget vill minska sina kostnader och miljöpåverkan och utreder därför mjölkpaketens utformning. Hur ska mjölkpaketet utformas för att det ska gå åt så lite förpackningsmaterial som möjligt?

b) Hur mycket ska ett sådant mjölkpaket rymma för att företaget ska gå med vinst?

c) Hade du sålt den här typen av mjölkpaket om du var marknadsansvarig på företaget? Varför/varför inte?

Hej igen. Jag har haft andra uppgifter i andra ämnen som behövts prioriterats så det blev ett litet avbrott här. Men nu är jag här.

Förstå uppgiften som PATENTERAMERA postade är nog alldeles för svår för mig. Jag skulle behöva tillämpa kedjeregeln och produktregeln och dem kan jag nog inte... När jag börjar studera Ma4 så kan jag angripa f(x) = x^x. 

Uppgiften som Teraaegle postade vill jag prova lösa. Jag började med att ta fram en funktion för arean av det kvadratiska rätblocket. I och med att det är en kvadratisk basyta så döper jag båda sidor till $x$ som ger mig arean $x^2$. Jag adderar även locket av rätblocket och får $x^2 + x^{2 }= 2x^2$. Jag måste även bestämma arean för en sida av rätblocket som jag döper till $y$. Då får jag $x·y = xy$. Det finns 4 sidor och får därmed $xy + xy + xy + xy = 4xy$. Nu har jag min area funktion som ges av: $A\left(x , y\right) = 2x^2 + 4xy$. Jag kan bestämma volymen med hjälp av informationen och får $V\left(x , y\right) = x^{2}y$ som vi likställer med 1 liter. Då får vi $x^{2}y = 1 \to y = \frac{1}{x^2}$. Nu kan jag ersätta mitt värde på y i areafunktionen. Vi får $2x^2 + 4x\left(\frac{1}{x^2}\right) = 2x^2 + \frac{4x}{x^2} = 2x^2 + \frac{4}{x} = 2x^2 + 4x^{-1}$. Vi kan nu derivera detta och då får vi $A\left(x\right) = 4x - 4x^{-2} \leftrightarrow 4x - \frac{4}{x^2}$. Ska jag nu likställa derivatan med noll eller få in de olika kostnaderna? 

Helt riktigt så långt.

Hur tänker du utnyttja derivatan för att hitta den volym som ger minst förpackningsmaterial (dvs så liten omslutningsarea som möjligt)?

Vad bra. 

Jo jag likställer $A\text{'}\left(x\right) = 0$och får då $4x - \frac{4}{x^2} = 0 \to 4x = \frac{4}{x^2} \to 4x\left(x^2\right) = 4 \to 4x^3 = 4 \to x^3 = 1 \to x = 1^{\left(1/3\right)} = 1$. Nu när jag har x-värdet 1 så ska jag försäkra mig om att det är de värde som ger minst förpackningsmaterial. Det gör jag genom att ta fram andraderivatan. Vi får andraderivatan till $A\text{'}\text{'}\left(x\right) = 4 + \frac{8}{x^3} \to A\text{'}\text{'}\left(1\right) = 4 + \frac{8}{1^3} = 12>0 \to$Minpunkt. Då har vi ett givet värde för x som vi även döpt vår kvadratiska sida till. Vi sätter in den i $A\left(x\right)$ och får $A\left(1\right) = 2 + 4 = 8$ cm. Nu kan vi beräkna höjden som jag i detta fall döpt till $y$. Gör jag rätt än så länge? 

Ja det är rätt, men vad menar du med att arean är 8 cm?

Oj. Ursäkta. Det ska stå $A\left(1\right) = 2\left(1^2\right) + \frac{4}{1} \to 2 + 4 = 6$. Alltså en sida av den kvadratiska botten är 6 l.e. Det stämmer väl? 

Nej, det är fel. Du har räknat ut att mjölkpaketets area är 6....ja vilken enhet ska det vara?

För att ta reda på mjölkpaketets sidor måste du gå tillbaka och titta hur du definierade x och y.

Oj. Nu blir det lite bökigt alltihopa... Jag fick fram x-värdet 1 och räknade ut arean m.h.a. $A\left(x\right) = 2x^2 + \frac{4}{x}$till 6 $d{m}^2$. Men jag måste väl bestämma mjölkpaketets mått? 

Ja precis. 

Hur definierade du x och y?

Bestäm den räta linjens funktion som går igenom den givna punkten (0,a) och går igenom funktionen  

f(x) = x^2 + 4x + 7 i exakt en punkt i första kvadranten. Samt bestäm alla möjliga värden på a.

Jag gjorde en liknande uppgift i boken matematik 5000 3c när jag gick kursen för några år sen. Jag tyckte det var den svåraste uppgiften i boken

1. Vilken punkt på parabeln $y=1-x^2$ ligger närmast origo?

2. I en punkt på kurvan $y=e^{-x}$, $x\ge0$, dras en tangent till kurvan. Koordinataxlarna bildar tillsammans med tangenten en triangel. Vilken är den största area en sådan triangel kan ha?

3. Låt $P=(x,y)$ vara en punkt på kurvan $y=x/(1+x)$, $x\ge0$, och låt kurvnormalen genom $P$ skära $x$-axeln i $Q$. Bestäm $P$ så att triangeln med hörnen $P$, $Q$ och $R=(x,0)$ får så stor area som möjligt.

4. En likbent triangel är inskriven i enhetscirkeln. Bestäm det största värde som triangelns area kan anta.

5. Visa att av alla rektanglar, som kan inskrivas i en cirkel med radien 1, är kvadraten den som har störst area. Bestäm också denna area.

https://www.pluggakuten.se/trad/uppgift-ur-boken-calculus-som-jag-skulle-fa-hjalp-med-att-forsta/

Gör den frågan, men tjuvtitta inte i tråden för där är den löst.

Tack för alla uppgifter som ni postar. Jag skriver ner dem och skapar nya trådar ifall jag fastnar. 

Åter till Teraeagle:s uppgift. Vi har fått fram att arean är 6$d{m}^2$. Nu kan jag väl ta fram min areafunktion A(X) och sätta den lika med 6? Jag får då: $A\left(x\right) = 2x^2 + \frac{4}{x} \to 2x^2 + \frac{4}{x} = 6$. Jag kan dividera allt med $2$ och då får jag: $x^2 + \frac{4}{2x} = 3$som jag förenklar till: $x^2 + \frac{2}{x} = 3 \to x = 1,5 \left(\pm \right) \frac{1}{2}$. Så mitt värde på kvadratens sida i rätblocket är 2dm? Kan det stämma? Blir lite kluven... 

Natascha skrev:

Tack för alla uppgifter som ni postar. Jag skriver ner dem och skapar nya trådar ifall jag fastnar. 

Åter till Teraeagle:s uppgift. Vi har fått fram att arean är 6$d{m}^2$. Nu kan jag väl ta fram min areafunktion A(X) och sätta den lika med 6? Jag får då: $A\left(x\right) = 2x^2 + \frac{4}{x} \to 2x^2 + \frac{4}{x} = 6$. Jag kan dividera allt med $2$ och då får jag: $x^2 + \frac{4}{2x} = 3$som jag förenklar till: $x^2 + \frac{2}{x} = 3 \to x = 1,5 \left(\pm \right) \frac{1}{2}$. Så mitt värde på kvadratens sida i rätblocket är 2dm? Kan det stämma? Blir lite kluven... 

 Nej, det är inte rätt. Återigen - hur definierade du x och y? Du har räknat ut vilket x som ger minst area.

Jag kanske inte förstår vad du exakt menar med "definierade x och y" Teraeagle. Jag kanske tolkar det fel. Jag vet att jag döpte sidan till den kvadratiska botten $x$ och höjden till $y$ som jag även fick ut till: $y = \frac{1}{x^2}$. Förklara på ett annat sätt så kommer jag säkert förstå. 

Du har alltså sagt att två sidor har längden x och den tredje sidan har längden y. Du har räknat ut att x=1 dm ger minst area. Det innebär att arean blir som minst om två sidor har längden 1 dm. Vad ska då den tredje sidan, y, vara? Vad är y om x=1?

Oj, jag tror att jag behöver skickas in på diagnos för demens. Det var ju du som ställe den från början hahahaha.

Den frågan ligger faktiskt mig mycket nära hjärtat, den handlar mitt gymasiearbete om (och mer). Vill du försöka bevisa att ingen tanget skär någon punkt ovanför funktionsgrafen till ax^2+bx+c=y, a>0?

Ahhhh! A just det!! Nu ser jag att jag hamnade helt utanför... Jag tänkte inte alls på alla tre sidor utan endast två av någon orsak... Aja... 

Då x=1 då kan jag beräkna y genom att tillämpa $y=\frac{1}{x^2} = \frac{1}{1} = 1 dm$. Jag blir lite kluven... Blir mjölkpaketet formad som en kub med värdena på x respektive y? 

Helt riktigt. Om ett mjölkpaket som rymmer 1 liter är utformat som en kub så ger det den typ av rätblock som har minst area. Man kan visa att det gäller rätblock för alla volymer och inte enbart volymen 1 liter.

Kan du lösa b-uppgiften? Hur stor volym ska en kub ha för att företaget ska gå med vinst?

Jag ska lösa uppgift (b) nu. Gud vad uppgift (a) tog utrymme men (b) hoppas vi på mer kompakt. Återkommer. 

Jag får inte riktigt grepp om fråga (b). :( 

I och med att vi ska ta fram en volym för rätblocket så måste vi befinna oss i funktionen för volymen: $V\left(x , y\right) = x^{2}y \to V\left(x\right) = x^2\left(\frac{1}{x^2}\right)$. Jag måste även tillämpa de värden du har med i uppgiften. 

Notera att frågan handlar om en kub, eftersom en kub ger minimal yta innebär det också minimal kostnad för förpackningen. Du kan alltså beskriva volymen V som V=x^3.

Kommer du vidare? Hur stora blir intäkterna från ett mjölkpaket, och hur stora blir utgifterna? Vad blir vinsten?

Volymen ges av V(x) = x^3. Om jag nu ska bestämma hur mycket mjölkpaketet ska rymma för att mejeriet ska gå med vinst så måste jag tillämpa dem värdena som är angivna. 

Det är där jag fastnar av någon orsak... Har löst andra uppgifter tidigare som är av liknande slag... Jag tänker i alla fall såhär: Varje kvadratdecimeter kostar 0,25 kr. Då måste vi väl multiplicera 0,25 med V(x). Alltså 0,25(x^3) = 0,25x^3. Sedan gäller övriga kostnader som uppgår till 3 kr. Då får vi 0,25x^3 + 3. Sedan säga det att mejeriet säljer mjölken för 10kr/l. Får vi då Teraeagle följande: 0,25x^3 + 3 = 10? Är inte alls säker. 

Om alla längder är x dm så är varje sida x² dm². Eftersom det finns sex sådana sidor hos en kub blir arean 6x². Kostnaden för förpackningsmaterial blir då:

Eftersom volymen kan beskrivas som x³ liter blir intäkterna från försäljning

Utöver det har du kostnader på 3 kronor per mjölkpaket. Vinsten fås som intäkt minus utgifter. Kan du konstruera en funktion som beskriver hur stor vinsten blir från försäljning av ett mjölkpaket? Hur gör du för att ta reda på hur stor volymen behöver vara för att man ska göra en vinst från försäljningen?