Visa utan grafräknare att ekvationen saknar rötter

Notera att högerledet är en andragradare, så den är U-formad (eller U fast upp och ner). Du skulle kunna undersöka var extrempunkten ligger för att avgöra om hela kurvan håller sig på ena sidan vågen. Vilket också kräver amplituden på vågen =)

Här är en uppgift där det verkligen lönar sig att rita.
I vänsterledet har vi en sinusfunktion med amplituden ... och den kommer att passera origo när x = 0
Vi har också en cosinusfunktion fast med amplituden ... och den passerar y = ... när x = 0

I högerledet har vi en andragradsfunktion som har en glad mun eftersom x² -termen är positiv eller hur Skaft 😊
Vi kontrollerar var den passerar Y-axeln på för höjd när x = 0; 1; 10 och -1; -10

Om vi skissar upp de tre kurvorna så får vi en ganska bra bild av varför ekvationen saknar rötter.

ConnyN skrev:

I högerledet har vi en andragradsfunktion som har en glad mun eftersom x² -termen är positiv eller hur Skaft 😊

Jodå, det är vi överens om =) Lämnade det lite öppet bara.

Skriv om VL med formeln $a\,sin \, x + b\, cos \, x= (\sqrt {a^2+b^2})sin(x+v)$ och ta fram maxvärdet. Derivera HL och sätt derivatan lika med 0 för att ta fram minimivärdet.  Jämför.

Frågan är om det lönar sig att rita? Varför skulle man klara sig utan just GRAF-ritande räknare?

Smaragdalena skrev:

Skriv om VL med formeln $a\,sin \, x + b\, cos \, x= (\sqrt {a^2+b^2})sin(x+v)$ och ta fram maxvärdet. Derivera HL och sätt derivatan lika med 0 för att ta fram minimivärdet.  Jämför.

Viktigt att påpeka är att v i denna fås ut av följande: $\tan v =\hspace{0.17em}\frac{b}{a}$

Redigering: det spelar iofs ingen roll i den här uppgiften, då vi endast letar efter maxvärdet, och $-1\le \sin \left(\theta \right)\le 1$

beerger skrev:

Smaragdalena skrev:

Skriv om VL med formeln $a\,sin \, x + b\, cos \, x= (\sqrt {a^2+b^2})sin(x+v)$ och ta fram maxvärdet. Derivera HL och sätt derivatan lika med 0 för att ta fram minimivärdet.  Jämför.

Viktigt att påpeka är att v i denna fås ut av följande: $\tan v =\hspace{0.17em}\frac{b}{a}$

Du behöver inte bry dig om hjälpvinkeln, det påverkar inte max/min värdet. 

För övrigt, jag hade kvadratkompletterat HL ist för att derivera för att hitta min men det är väl lite av en smaksak. :)

Dracaena skrev:

beerger skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Skriv om VL med formeln $a\,sin \, x + b\, cos \, x= (\sqrt {a^2+b^2})sin(x+v)$ och ta fram maxvärdet. Derivera HL och sätt derivatan lika med 0 för att ta fram minimivärdet.  Jämför.

Viktigt att påpeka är att v i denna fås ut av följande: $\tan v =\hspace{0.17em}\frac{b}{a}$

Du behöver inte bry dig om hjälpvinkeln, det påverkar inte max/min värdet. 

För övrigt, jag hade kvadratkompletterat HL ist för att derivera för att hitta min men det är väl lite av en smaksak. :)

Haha, redigerade min kommentar precis innan du skrev det där :P Men kan likväl vara bra att ha koll på, ifall en annan uppgift i framtiden skulle kräva det.

Tomten skrev:

Frågan är om det lönar sig att rita? Varför skulle man klara sig utan just GRAF-ritande räknare?

Prova mitt förslag ska du se. Det ritar du på några minuter och då ser du raskt att du kan räkna ut maxvärde för vänsterledet och min-värde för högerledet.

Jag ser att jag var för optimistisk med att bara göra en skiss. Jag missade att vi hade en lägre punkt än 112 på H.L. ekvation.
Så då blev det helt plötsligt inte lätt att lösa V.L. ekvation då vi fick en annan minpunkt.
Smaragdalenas förslag blev lösningen för mig. Lite svårt med kvadraten och roten ur så pass stora tal, men det går att lösa med papper och penna för att få ett tal under rottecknet som sedan kan jämföras med kvadraten på det tal vi fick fram från H.L. ekvation med hjälp av derivata.

Ändå skulle jag vilja påstå att man nästan alltid har nytta av en skiss för att förstå vad man håller på med.

Ändå skulle jag vilja påstå att man nästan alltid har nytta av en skiss för att förstå vad man håller på med.

Håller med, men just den häar gången är det ganska mycket jobb för att rita en graf där man kan se något:

Ja på sätt och vis, men för att ha en aning om vad det handlar om så är det inte så dumt.
Jag bifogar min kladdskiss här.
Som ni ser är den väldigt förenklad och inte exakt på något vis, men det jag genast såg var att H.L. ekvation troligen låg ovanför. Mitt första misstag var att jag trodde att vi hade minimum i x = 0, men efter derivering såg jag att så inte var fallet.
Kurvan sjunker alltså en aning mellan 0 < x <1 och eftersom vi ska addera de två termerna från V.L. ekvation så kan man ana att de två sidorna kan närma sig eftersom sinuskurvan ökar fort i början.

Det ledde till att jag gjorde uträkningen som Smaragdalena beskrev, men alla beräkningar och bilder kan tas fram för hand utan grafräknare och det var poängen med mitt inlägg.

Uppgfiten vill att man inte använder grafritande verktyg, det står inget om att inte använda miniräknare!

Ofta undrar elever varför kvadratkomplettering är användbart, här är ett bra exempel. HL är extremt enkelt att fixa till:

$3(x^2- \dfrac{2x}{3}+ \dfrac{112}{3}) \implies 3(x^2-\dfrac{2x}{3}+\dfrac{112}{3} +(-\dfrac{1}{3})^2 - (\dfrac{1}{3})^2)$ och slutligen $3(x-\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{335}{3}$. Vi ser direkt vad min är och behöver då bara jämföra min-värdet med amplituden för VL när vi skrivit om den till en funktion som består av enbart sinus.  

Alternativt kan man använda symmetrilinje, nämligen att extrempunkten ligger på x-koordinaten $\frac{x_0+x_1}{2}$ där $x_0$ och $x_1$ är rötter till $3x^2-2x+112$. Man får komplexa rötter men det spelar inte så stor roll.

Sedan kan man ju också göra som ConnyN och Smaragdalena nämnde ovan och använda derivatan.