Tillväxthastigheten och integraler

Detta är en f(t) och inte en f(x). Vet du hur man löser en sådan integral? Förstår du vad du ska beräkna? Vilken enhet har t?

I den här uppgiften har man kallat variabeln t istället för x. Man borde ha skrivit "dt" i slutet av integralen.

Jag ska beräkna tillväxthastigheten, och är t1= 0 och t2= 5. Ska man hitta primitiva funktionen för 225 * e^0,0064t, där 225*e^0,0064t/0,0064 ger 35156,25* e^0,0064t. 

Det stämmer.

Så sen ska jag stoppa 5 och 0 och subtrahera största värdet med minsta värde som ger mig den totala svaret. 

Hej jag har också försökt att lösa b) på den men jag får inte rätt svar: Frågan lyder att "Efter hur många år kommer befolkningsmängden att vara större än 40 000"?

Betyder att jag ska beräkna 40 000 = 225*e^0,0064t, lösa ut t. 

Hur stor är befolkningen vid t=0?

Vid t=0 är befolkningen 225. 

Är det säkert? När är den 35.000?

Tillväxten vid t=0 är 225 personer. Så det borde va att du sätter in 5000 =225e^0,0064t +225 och löser ut t? 

Så 5000 kommer från 40000-35000. Och jag får svaret t~~ 476,36661. 

Fick du rätt svar på a? Och isåfall vad är svaret, det verkar inte som att den där tillväxtfunktionen har nån verklighetsrelevans.

35156,25* e^0,0064t, där t=0 och t= 5. Ger 35156,25* e^0,0064*0= 35156,25* 1= 35156,25 och 35156,25* e^(0,0064*5)= 36299,4435458

Där 36299,4435458 - 35156,25= 1143,1935458. 

Det där är inte rätt svar? Om du provar ta en parentes runt ^(0,0064*5) alternativt räkna ut det först sen höjer upp e med det!

Är det rätt svar nu?

Nån av de tunga artilleriet får kika på den här frågan för jag är osäker.

Det skulle kunna va rätt svar på a, men på b så är nog mitt förslag fel. Integralen ger ju dig antalet personer som ökat under intervallet t=0-5, dvs det motsvarar arean under grafen. Och om du nu ska öka med 5000 dvs arean under grafen ska vara 5000, då skulle vi behöva integrera först sen lösa ut t. Men vi skulle behöva nån annan som bekräftar mitt antagande.

Hej kan nån hjälpa mig med frågan b)

Eftersom $f(t)$ är tillväxthastigheten, betecknar $\int_0^5 f(t) dt$ den totala tillväxten under de första 5 åren. Tillväxthastigheten ändras över tid, men vad integralen gör är att lägga ihop alla bidrag under hela tidsperioden. Integralen ger alltså antal personer som befolkningsmängden ökat med.

Integralen kan nu göras till en funktion som beräknar total tillväxt under x år, om vi bara byter övre gränsen från "5 år" till "x år":

$y = \displaystyle\int_0^x f(t) dt$

Om du har löst a) så är det inte svårt att få fram ett tydligt uttryck för vad den här funktionen y är, det är bara ett x istället för 5. Så när du har funktionen y som beräknar "total tillväxt under x år", då kan du besvara b) med en ekvation. För vilken tillväxt krävs för att nå befolkningsmängden 40 000? Det var ju 35 000 från början, så vi behöver 5000 till. Hur lång tid tar det innan tillväxten är 5000? Tid är det som x mäter, och tillväxt är y. Du vill alltså lösa ekvationen y = 5000.

Men kan du Skaft kolla på frågan a) är rätt. Jag har gjort så här:

35156,25* e^0,0064t, där t=0 och t= 5. Ger 35156,25* e^0,0064*0= 35156,25* 1= 35156,25 och 35156,25* e^(0,0064*5)= 36299,4435458

Där 36299,4435458 - 35156,25= 1143,1935458.

På frågan b) menar du att jag ska beräkna 5000=225*e^(0,0064t) och ta ut vad tiden t är?

Lake55 skrev:

Men kan du Skaft kolla på frågan a) är rätt. Jag har gjort så här:

35156,25* e^0,0064t, där t=0 och t= 5. Ger 35156,25* e^0,0064*0= 35156,25* 1= 35156,25 och 35156,25* e^(0,0064*5)= 36299,4435458

Där 36299,4435458 - 35156,25= 1143,1935458.

 

På frågan b) menar du att jag ska beräkna 5000=225*e^(0,0064t) och ta ut vad tiden t är?

a) är rätt svar. Poängen är att du kan göra den där beräkningen mer allmän. t=0 är alltid med som startpunkt, men den övre gränsen t=5 kan vara vad som helst: t=x för att betyda "efter x år". I a) hade du alltså:

Tillväxt på 5 år = 35156.25* e^(0.0064*5) - 35156.25

Och på samma sätt gäller att:

Tillväxt på x år = 35156.25* e^(0.0064*x) - 35156.25

Genom att sätta den tillväxten lika med det önskade 5000, kan du lösa ut vad x (antal år) måste vara.

Ok, då vet jag på b) och fick svaret t ungefär 484 år. Är det rätt och tack för hjälpen alla. 

Det är inte vad jag får det till. Visa gärna hur du räknat!

Jag får det till 5000=225*e^(0,0064t), t=ln(200/9)*625/4. Eller ska man ta istället med 5000=35156,26*e^(0,0064t).

Du verkar inte använda vad jag gav dig. Du kom själv fram till att tillväxten på 5 år var

$35156.25e^{0.0064\cdot 5} - 35156.25$

Och precis på samma sätt blir tillväxten på x år:

$35156.25e^{0.0064x} - 35156.25$

Vi undrar hur många år som ger en tillväxt på 5000, så vi sätter tillväxten lika med 5000:

$35156.25e^{0.0064x} - 35156.25 = 5000$

Är det ungefär 21 år? Rätt svar eller inte. 35156,25*e^(0,0064x)-35156,25=5000. Jag får det till x= ln(257/225)*625/4, där x ungefär 20,77745 eller 21 år.

Men då ska jag ändra på frågan a) också.

Ja, det ser bättre ut =)

Hej igen varför tar man -35156,25?

Titta på hur du löste a-uppgiften:

Lake55 skrev:

Men kan du Skaft kolla på frågan a) är rätt. Jag har gjort så här:

35156,25* e^0,0064t, där t=0 och t= 5. Ger 35156,25* e^0,0064*0= 35156,25* 1= 35156,25 och 35156,25* e^(0,0064*5)= 36299,4435458

Där 36299,4435458 - 35156,25= 1143,1935458.

Och om frågan a och b är rätta då kan jag tacka alla för hjälpen 

Hej igen hur ska man tolka på frågan a) I'm jag jar beräknat fram svaret? 

Skaft har ju beskrivit vad integralen gör.