tillväxt med begränsningar

y är antalet personer, y' är förändringen av antalet personer per år. Populationen är avtagande om den här förändringen är negativ. Du har alltså en funktion, och undrar när funktionen ger negativa värden - det behövs ingen derivering för det.

När du deriverar derivatan så börjar du istället undersöka förändringen av förändringen, och det är något annat. 

Tack för tydlig förklaring!

Jag förstod inte riktigt C uppgiften. Vi kan inte lösa en sånt diffrencialekvation så hur ska man rita y=y(t)? 

Vad är poängen med såna uppgifter? vad ska man tänka på egentligen?:(

Du skulle kunna skissa ett riktningsfält. Sätt in olika värden på y, t.ex. tusentalen, så kan du beräkna hur mycket kurvan lutar när den skär just den höjden. Eftersom du har en startpunkt kan du sedan börja rita kurvan där, och bara låta den "följa med strömmen" av tangenter.

Okej Taack!!

Edit:

Mitt resonemang är felaktigt och kan bortses från.

Hej.

I min mening har läroboken formulerat sig felaktigt. Man borde ha formulerat sig så här "antag att y närmar sig ett värde för stora t, bestäm detta värde för y". Värdemängden för y är inte angiven i uppgiften, dvs det är inte känt att 1000<y<5000. Tillåter man y>5000 så blir punkten y=5000 istället ett lokalt max (derivatan bytar tecken här). 

Så som uppgiften är formulerad nu kan man lika gärna påstå att y(t) inte närmar sig något värde för höga t.  Eller isåfall $y\to -\infty då t\to \infty$. 

Man kan ju formulera problematiken så här: 

Bestäm värdemängden för y givet:

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dt}=1.2y(1-\frac{y}{5000}) \\ y\left(0\right)=1000 \end{gathered}$$

Då påstår jag att man inte kan påstå att 1000<y<5000 utan mer information.

Håller ni med?

Nja, tänk på att y' beräknas utifrån y, inte t. Det är alltså y-värdet på kurvan som avgör lutningen. Så är det inte för kurvan du ritat, den kan luta både uppåt och nedåt för samma y-värde.

Nej, jag håller inte med. Det står i uppgiften att y(0) = 1000. Då kan y(t) inte bli större än 5000.

Jag tänkte efter och insåg mitt misstag. Man kan motbevisa mitt påstående med frågan 

varför kan $\frac{dy}{dt}$ aldrig bli negativt givet $y\left(0\right)=1000$

Tack för input!