Tillämpningar på första ordningens differentialekvationer

Hej!

Jag kommer inte vidare med denna uppgift då jag inte riktigt förstår a) frågan,

Svaret ska bli: $p (t) = 1 - e^{- 0, 01 t}$

Eftersom funktionen är följande $\frac{d p}{d t} = k (p_{a} - p)$ måste väll $\frac{d p}{d t} = k p_{a} - k p$ ?

Från kp får jag att den homogena funktionen är $p_{h} = C e^{- 0, 01 t}$ , när jag sätter in det villkor som gäller på a) frågan blir $p (0) = 0 = > C * e^{0} = C * 1 = 0 d v s C = 0$ då blir den homogena lösningen $0 e^{- 0, 01 t}$ vilket alltid kommer att blir 0. Det stämmer inte!

Är tacksam för all hjälp jag kan få, det måste vara något som jag missar men kommer inte på vad. Eller så har jag bara missuppfattat frågan helt och hållet. Tack på förhand

Din homogena lösning är rätt.

Men innan du kan sätta in villkoren måste du lägga till den partikulära lösning också.

Hade lite problem med att komma på den fullständiga lösningen, men tror att jag fick till den partikulära delen nu. $p_{p} = 1$

Tack så mycket!
Det vill säga följande beräkningar är till för den partikulära delen om framtida elever skulle fastna på samma problem.

$p' = k p_{a} - k p blir till p' + k p = k p_{a}$ eftersom ' $k p_{a}$ ' är en konstant, 0,01 * 1 = 0,01 kan jag ansätta den partikulära lösningen till $p_{p} = a$ $p'_{p} = 0$

Då blir följande uttryck: $0 + k a = 0, 01$ (ersätter p' med 0 och p med a)

Förenklar vi lite så blir det: $0, 01 * a = 0, 01$ $a = \frac{0, 01}{0, 01} = 1$

då blir den partikulära lösningen ( $p_{p}$ ) = 1

Den fullständiga lösningen för funktionen blir då: $p = p_{p} - p_{h} = 1 - C e^{- 0, 01 * t}$

Så om jag nu sätter in villkoret, p(0) = 0, blir det

$0 = 1 - C * e^{- 0, 01 * 0} = 1 - C * 1$ Det vill säga att $C = 1$

Då blir differentialekvationen: $p (t) = 1 - e^{- 0, 01 * t}$

Svara