Tillämpningar

Derivera och sök extrempunkter med hjälp av (första-)derivatan.

y(t) =100 + 50 sin(0,4t)

y'(t) = 100 +50 cos(0,4t) *0,4

Är det rätt så långt?

Förstår inte riktigt

Nja inte riktigt Derivatan av 100 är lika med noll, inte sant? F ö OK.

Är du bekant med begreppet stationära punkter?

dr_lund skrev:

Nja inte riktigt Derivatan av 100 är lika med noll, inte sant? F ö OK.

Är du bekant med begreppet stationära punkter?

Ja juste den försvinner ju. Stationära punkter? Nej

y(t) =100 + 50 sin(0,4t)

y'(t) = 0 +50 cos(0,4t) *0,4

Om T(t) är temperaturen vid tidpunkt t så får du ut de tidpunkter då temperaturen antar sina max- och minvärden genom att lösa ekvationen T'(t) = 0.

Yngve skrev:

Om T(t) är temperaturen vid tidpunkt t så får du ut de tidpunkter då temperaturen antar sina max- och minvärden genom att lösa ekvationen T'(t) = 0.

Kallar dem g(t) och h(t) så blir det f(t) =g(t)*h(t)

f'(t) =g'(t) * h'(t)

= 50 * cos(0,4t) * 0,4

Eller?

Ett mycket enklare sätt är att konstatera att en sinusfunktion kan anta alla värden mellan -1 och 1. Den högsta temperaturen är när sin(0,4t) = 1 och då är temperaturen 100 + 50 = 150 vilket säger mig att du måste ha skrivit av uppgiften fel.

Smaragdalena skrev:

Ett mycket enklare sätt är att konstatera att en sinusfunktion kan anta alla värden mellan -1 och 1. Den högsta temperaturen är när sin(0,4t) = 1 och då är temperaturen 100 + 50 = 150 vilket säger mig att du måste ha skrivit av uppgiften fel.

Derivatan av 100 är ju noll så därför är den inte med men den måste vara med eller?

Det Smaragdalena vill tipsa dig om.är att T(t) antar sitt största värde då sin(0,4t) = 1 och sitt minsta värde då sin(0,4t) = -1.

Yngve skrev:

Det Smaragdalena vill tipsa dig om.är att T(t) antar sitt största värde då sin(0,4t) = 1 och sitt minsta värde då sin(0,4t) = -1.

Juste. sin(0,4t) varierar mellan +1 och -1. Okej. Den minsta hade vart minus istället då va? 100-50 = 50graderC. 

Tänkte mig en sjö på 150 grader låter lite mycke.

Vadå är det svaret då eller? När det sker behöver man väl oxå få fram då va?

Ja det är inte så troligt att temperaturen i en sjö på jorden växlar mellan 50° C och 150° C.

Men kanske på någon annan planet ...

Ja förutom det högsta värdet så ska du även ta reda på tidpunkten när detta värde nås, dvs värdet på $t$ vid det tillfället.

Dvs du ska lösa ekvationen sin(0,4t) = 1.

Yngve skrev:

Ja det är inte så troligt att temperaturen i en sjö på jorden växlar mellan 50° C och 150° C.

Men kanske på någon annan planet ...

Ja förutom det högsta värdet så ska du även ta reda på tidpunkten när detta värde nås, dvs värdet på $t$ vid det tillfället.

Dvs du ska lösa ekvationen sin(0,4t) = 1.

Hmm okej. 

Tänker att arcsin 1 är 1,57 ---> 0,4t $\approx$1,57 + n*2n

t$\approx$$\frac{1,57}{0,4}$= 3,93.  t är antal månader då blir det avrundat månad 4 som är april.

Så 150graderC i April får jag det till.

Det finns tvp lösningsmängder.

Dels den du skriver $0,4t\approx1,57+n\cdot2\pi$, dels en som är $0,4t\approx\pi-1,57+n\cdot2\pi$.

Den första lösningen efter t=0 är $0,4t\approx1,57$, vilket ger att $t\approx3,93$.

Men eftersom t var antalet månader efter första januari så måste t = 1 motsvara första februari, t = 2 motsvara första mars, t = 3 motsvara första april och t = 4 motsvara första maj.

Så svaret bör vara "slutet av april".

-------

Utökning av uppgiften:

Jag gillar inte att bada om vattentemperaturen är över 90° C, min hud blir så röd då. Vilka perioder på året är det då badbara för mig?

Jag tror att uppgiften måste vara fel avskriven, dels på grund av de konstiga vattentemperaturen, dels på grund av att om man sätter in t = 12 får man inte samma värden som om man sätter in t = 0 (vare sig om t är radianer eller grader). Fast det kanske är som Yngve skrev, att sjön finns på en främmande planet, men då verkar det konstigt att man pratar om 1:a januari i uppgiften.

Smaragdalena skrev:

Jag tror att uppgiften måste vara fel avskriven, dels på grund av de konstiga vattentemperaturen, dels på grund av att om man sätter in t = 12 får man inte samma värden som om man sätter in t = 0 (vare sig om t är radianer eller grader). Fast det kanske är som Yngve skrev, att sjön finns på en främmande planet, men då verkar det konstigt att man pratar om 1:a januari i uppgiften.

Så är den skriven exakt:

Temperaturen i en sjö kan bestämmas med formeln:
T(t) = 100 + 50sin(0,4t) där T(t) är temperaturen i celsiusgrader och t är antal
månader efter 1:a januari. När sker högsta temperaturen och hur hög är den då?

Kan du lägga in en bild av frågan?

Yngve skrev:

Det finns tvp lösningsmängder.

Dels den du skriver $0,4t\approx1,57+n\cdot2\pi$, dels en som är $0,4t\approx\pi-1,57+n\cdot2\pi$.

Den första lösningen efter t=0 är $0,4t\approx1,57$, vilket ger att $t\approx3,93$.

Men eftersom t var antalet månader efter första januari så måste t = 1 motsvara första februari, t = 2 motsvara första mars, t = 3 motsvara första april och t = 4 motsvara första maj.

Så svaret bör vara "slutet av april".

-------

Utökning av uppgiften:

Jag gillar inte att bada om vattentemperaturen är över 90° C, min hud blir så röd då. Vilka perioder på året är det då badbara för mig?

För att få reda på när den är 90$°$ så tänker jag att vi ska lösa ekvationen då 90 = 100+50sin (0,4t)

-10=50sin(0,4t)

sin(0,4t )= $\frac{-10}{50}$

(0,4t)$\approx$-0,20 + n * 2$\mathrm{\pi }$

t$\approx$$\frac{-0,20}{0,4}$=-0,50.

Och då avrundar man ju neråt med 1 månad så då måste det bli före 1 december. Är det rätt?

Smaragdalena skrev:

Kan du lägga in en bild av frågan?

Tror att man inte behöver fördjupa sig om själva frågan och värdena är relevanta eller inte. Allt är väl påhittat tänker jag. Det är ju bara i utbildingssyfte. Jag har ingen aning