Tillämpning av diagonalisering

Jag sitter med en uppgift som rör tillämpning av diagonalisering. Jag kommer så nära svaret att jag känner att jag är på rätt spår men någonstans blir det lite fel.

Det är en textuppgift som lyder:
"En region, där det totala invånarantalet antas vara konstant, består av två invånarpopulationer- stads och landsbygd.
Under ett årtionde gäller det att 30% av invånarna på landsbygden flyttar till staden(dvs 70% stannar kvar på landsbygden). Samtidigt gäller det att 10% av stadsbefolkningen under ett årtionde flyttar ut på landsbygden. Vid ett visst tillfälle var fördelningen 90% landsbygd, 10% stad. Ta fram ett uttryck för hur fördelningen ser ut efter mycket lång tid?"

Jag började med att rita en viktad graf och kom fram till följande ekvationssystem som beskriver situationen:

$$\begin{gathered} x_k=Landsbygd \\ {y}_k=Stad \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_k=0,7x_{k-1}+0,1y_{k\_1}\\ y_k=0,7x_{k-1}+0,1y_{k\_1}\end{array}\right. \\ {x}_0=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{c}9\\ 10\end{array}\right) \end{gathered}$$

Var i från jag plockade fram matrisen:

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 3& 9\end{array}\right) \\ B=10A=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 3& 9\end{array}\right) \end{gathered}$$

Jag plockade fram B för att göra beräkning av egenvärden och egenvektorer enklare, efter mycket räknande kommer jag fram till att matrisen A har egenvärde $\lambda =1$ för egenvektor t(1,3) t$\ne$0 samt $\lambda =\frac{3}{5}$ för egenvektor t(1,0) t≠0.

Detta ger mig diagonalmatrisen D=S^-1AS där S^-1 ,S och D är:

$$\begin{gathered} S=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -1\end{array}\right) \\ {S}^{-1}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right) \\ D=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{3}{5}\end{array}\right) \end{gathered}$$

Sedan tänkte jag mig att A^k= SD^kS^-1:

$$\begin{gathered} A^k=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -1\end{array}\right)\frac{1}{{10}^k}\left(\begin{array}{cc}{1}^k& 0\\ 0& {\left(\frac{3}{5}\right)}^k\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right) \\ {A}^k=\frac{1}{{10}^k}\left(\begin{array}{cc}1& {\left(\frac{3}{5}\right)}^k\\ 3& -{\left(\frac{3}{5}\right)}^k\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4}\end{array}\right) \\ {A}^k=\frac{1}{{10}^k}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k\\ \frac{3}{4}-\frac{3}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k & \frac{3}{4}+\frac{3}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k\end{array}\right) \end{gathered}$$

Slutligen tänkte jag plocka fram svaret så här x_k=A^kx_0:

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)= \frac{1}{{10}^k}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k\\ \frac{3}{4}-\frac{3}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k & \frac{3}{4}+\frac{3}{4}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k\end{array}\right)\frac{1}{10}\left(\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)= \frac{1}{{10}^k}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{10}{40}+\frac{26}{40}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k \\ \end{array}\\ \frac{30}{4}-\frac{26}{40}{\left(\frac{3}{5}\right)}^k \end{array}\right) \end{gathered}$$

i facit står svaret:

$\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)+\frac{13}{20} {\left(\frac{3}{5}\right)}^k\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$

Förutom den där jobbiga termen 1/10^k jag har i mitt svar så är detta samma sak som jag fått fram. Så jag undrar lite om den här termen 1/10^k jag får över jag ska ju bil av med den på något sätt men jag ser inte var eller hur?

Tack och trevlig helg!!