Tillämpning av derivata 2

Du kan skriva om en logaritm med godtycklig bas till den naturliga logaritmen. Kan du derivera ln(x)?

Blir det då 10^{10^-9 •(1+10^5t)}?

Ju, det är viktigt att kunna derivera logaritmfunktioner i matematik 4. Här hittar du deriveringsregler för logaritmfunktioner.

Glöm inte att att ersätta I(t) innan du deriverar L(t).

Står ju ingenting om lg, bara om ln. Har lg och ln samma derivata?

Jag vet hur man löser uppgiften bara jag får reda på hur man deriverar en lg-funktion för det nämns varken i 5000+ (reviderade ämnesplanen) eller i Origo (2023).

Ski03 skrev:

Står ju ingenting om lg, bara om ln. Har lg och ln samma derivata?.

Precis, både ln (naturlig logaritm) och lg (logaritm med basen 10) är logaritmfunktioner och de har faktiskt samma derivationsregel.

Behöver jag då göra om lg-funktionen i frågan eller ska jag bara derivera på samma sätt som naturliga logaritmer?

Du behöver inte göra om, utan derivera på samma sätt som ln.

Vad är felet i deriveringen?

L(t) = 120 + 10lg(I(t)) = 120 + 10*ln(I(t))/ln(10).

L'(t) = 10/ln(10) * I'(t)/I(t) = 10/ln(10) * 10^-4/10^-9(1+10⁵t).

Eller?

Hur kan lg(I(t)) = ln(I(t))/ln(10)?

Detta borde stå någonstans på matteboken.se, men jag vet inte var.

Om x är 10-logaritmen av y så gäller

10^x = y

Logaritmera:

x ln(10) = ln(y)

x = ln(y)/ln(10)

Ski03 skrev:

Vad är felet i deriveringen?

Ja, tiden stämmer ($1-{10}^{-5}$) sekunder, men vet inte varför du multiplicerar $L^{\text{'}}\left(t\right)·I^{\text{'}}\left(t\right)$?

Du kan direkt derivera L(t), du behöver inte tänka på L(I(t)), (om jag inte har missat något, det var länge sedan jag läste om ljudfysik?). 

Du har ju ersatt I(t), som är en funktion av t, så du kan använda L(t) istället för L(I(t)):

$L\left(t\right)=120+10lg({10}^{-9}+{10}^{-4}t)$

$L^{\text{'}}=\frac{dL\left(t\right)}{dt}=0+10\frac{\left({10}^{-4}\right)}{{10}^{-9}+{10}^{-4}t}=\frac{10}{{10}^{-5}+t}$dB/s

Hoppas det hjälper!

Sideeg skrev:

Ski03 skrev:

Vad är felet i deriveringen?

Ja, tiden stämmer ($1-{10}^{-5}$) sekunder, men vet inte varför du multiplicerar $L^{\text{'}}\left(t\right)·I^{\text{'}}\left(t\right)$?

Du kan direkt derivera L(t), du behöver inte tänka på L(I(t)), (om jag inte har missat något, det var länge sedan jag läste om ljudfysik?). 

Du har ju ersatt I(t), som är en funktion av t, så du kan använda L(t) istället för L(I(t)):

$L\left(t\right)=120+10lg({10}^{-9}+{10}^{-4}t)$

$L^{\text{'}}=\frac{dL\left(t\right)}{dt}=0+10\frac{\left({10}^{-4}\right)}{{10}^{-9}+{10}^{-4}t}=\frac{10}{{10}^{-5}+t}$dB/s

Hoppas det hjälper!

Det kan inte stämma för enligt facit är svaret 4,3 dB/s och stoppar man in 0,9999 istället för t så blir det ett stort tal.

Jag är osäker på vart felet ligger, men den ger 10 dB, vilket inte är särskilt stort.

$t=1-{10}^{-5}=0,99999 s$

Använd $t=(1-{10}^{-5}) s$för att underlätta beräkningen:

$\frac{dL\left(t\right)}{dt}=\frac{10}{{10}^{-5}+(1-{10}^{-5})}=\frac{10}{{10}^{-5}+1-{10}^{-5}}=\frac{10}{1}=10 dB$