Tillämpad matte
Hej!
Här ska jag ange hur stor parallelltrapetsen kan bli samt storleken på vinklen.
Har ni tips på hur man börjar
Kolla randvinkelsatsen
Kolla satser om fyrhörning inskriven i cirkel
Alternatvinkel uppe till höger
Basen = 2r
Snart får du ihop ett uttryck för arean som fkn av theta och r
Börja titta på vinklarna i dessa trianglar:
Jag tror att de två blir lika stora?
Stämmer, men hur kan du visa det?
Arktos skrev:Stämmer, men hur kan du visa det?
Jag har sett ett likadan fall innan, det är darför jag såg det direkt, men jag vet inte varför. Det skulle jag behöva hjälp med.
Randvinkelsatsen
Här har vi en randvinkel som står på en diameter i en cirkel.
Hur stor blir den då?
Plugga12 skrev:
Jag tror att de två blir lika stora?
Vinkelbågen skall bara gå från svart till blå linje men det var säkert det du menade!
Analys skrev:Plugga12 skrev:
Jag tror att de två blir lika stora?
Vinkelbågen skall bara gå från svart till blå linje men det var säkert det du menade!
Ja exakt det var det jag menade
Låt A vara punkten nere till vänster, B andra änden på basen,
C uppe t h och D uppe t v.
Vinkeln CAB är theta.
Vinkeln BCA är en randvinkel i cirkeln
Den står på AB som är en diameter till cirkeln.
Hur stor är då motsvarande medelpunktsvinkel?
Randvinklen är hälften så stor (enligt randvinkelsatsen).
Altlså så
Just så.
Hur stor är vinkeln BCA ?
Arktos skrev:Just så.
Hur stor är vinkeln BCA ?
Jag vet faktiskt inte, jag försöker just nu hitta det.
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/randvinkelsatsen
Kolla även följdsatserna
Kolla på randvinkelsatsen här och tänk ett urartat fall där y=180 grader.
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/randvinkelsatsen
Analys skrev:Kolla på randvinkelsatsen här och tänk ett urartat fall där y=180 grader.
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri/randvinkelsatsen
Hej igen!
Medelpunktviklen är 180 eftersom det är en halv cirkel, och randviklen blir då 90 enligt randvinkel satsen, stämmer det?
alltså BCA blir 90 grader
Snyggt!
Nu ramlar flera vinklar på plats
Arktos skrev:Snyggt!
Nu ramlar flera vinklar på plats
Hur ska jag bevisa nu att BCA är lika stor som BCN?
Men de är ju inte lika
BCA är rät.
Vad blir då ABC ?
Kalla höjdens skärningspunkt med basen för N.
Nu kan du visa att BCN är lika med ( inte phi)
Arktos skrev:Men de är ju inte lika
BCA är rät.
Vad blir då ABC ?Kalla höjdens skärningspunkt med basen för N.
Nu kan du visa att BCN är lika med ( inte phi)
Jag ändrade svaret innan du skrev. Tur att jag tog samma boksatv som du föreslog.
Jag redigerade efter din bild
Arktos skrev:Men de är ju inte lika
BCA är rät.
Vad blir då ABC ?Kalla höjdens skärningspunkt med basen för N.
Nu kan du visa att BCN är lika med ( inte phi)
Vilken stats ska jag anväda? jag tror inte att det är randvinkel statsen som gäller här
Vinkelsumman i en triangel
Använd den på ∆ABC och sedan på ∆BCN
Arktos skrev:Vinkelsumman i en triangel
Använd den på ∆ABC och sedan på ∆BCN
Triangeln ABC är en rätvinklig triangel, Vi vet att viklen BCA är 90 grader, vilket innebär att de BAC och ABC är lika med 180- 90
Triangeln BCN är också rätvinklig, vilket innebär att BCN och CBN är också lika med 180- 90
Plugga12 skrev:
Triangeln ABC är en rätvinklig triangel, Vi vet att viklen BCA är 90 grader, vilket innebär att de BAC och ABC är lika med 180- 90
Å, alla dessa bokstäver!
Menar du att BAC + ABC är lika med 180- 90 ?
Sant. Dessutom vet vi att vinkeln CAB är lika med theta.
Det betyder att CBA är lika med 90 - theta..
Samma resonemang i ∆HBC, vi känner nu två av vinklarna
och kan då beräkna den tredje. Visst?
Detta blir klumpigt i skrift.
Hade vi ritat på samma papper skulle vi sett det direkt...
Kan du lägga in en ny figur med värden på alla dessa vinklar?
Arktos skrev:Plugga12 skrev:Triangeln ABC är en rätvinklig triangel, Vi vet att viklen BCA är 90 grader, vilket innebär att de BAC och ABC är lika med 180- 90
Å, alla dessa bokstäver!
Menar du att BAC + ABC är lika med 180- 90 ?
Sant. Dessutom vet vi att vinkeln CAB är lika med theta.
Det betyder att CBA är lika med 90 - theta..
Samma resonemang i ∆HBC, vi känner nu två av vinklarna
och kan då beräkna den tredje. Visst?Detta blir klumpigt i skrift.
Hade vi ritat på samma papper skulle vi sett det direkt...Kan du lägga in en ny figur med värden på alla dessa vinklar?
Stämmer det?
Theta i den stora triangeln är lika med 180-(90+ABC)
Theta i den lilla triangeln är lika med 180-(90+NBC)
ABC och NBC är lika stora eftersom det är samma vinkel som finns i båda trianglerna.
Räcker det så för bevisa att theata i de två trianglerna är lika stora?
Det räcker gott!
Men se upp med beteckningarna!
Vi har bara ett theta – vinkeln CAB
Det du kallar "lilla theta" är vinkeln BCN.
Vi vet att vinkeln ABC = 90 – θ eftersom vinkeln BCA är rät
Vinkeln NBC = vinkeln ABC = 90 – θ
Vinkeln CNB är rät.
I ∆NBC blir då vinkeln BCN = θ
Puh! Svårt att skriva men lätt att rita och berätta.
Hur går vi vidare?
Arktos skrev:Det räcker gott!
Men se upp med beteckningarna!
Vi har bara ett theta – vinkeln CAB
Det du kallar "lilla theta" är vinkeln BCN.Vi vet att vinkeln ABC = 90 – θ eftersom vinkeln BCA är rät
Vinkeln NBC = vinkeln ABC = 90 – θ
Vinkeln CNB är rät.
I ∆NBC blir då vinkeln BCN = θ
Puh! Svårt att skriva men lätt att rita och berätta.
Hur går vi vidare?
Jag förstår vad menade där uppe.
Nu har jag dragit stärckan h´ som delar båda DA och BC i två delar.
Detta innebär att BC=2R
Måtet är nu att hitta ett utryck för h
Jag skrev att AC är lika med sin (theta)* 2R ( i den stora trianglen)
och att i den lilla tringeln så ser vi att
cos(theta)=h/2 R sin(theta)=
vilket leder till att h= sin(theta)* cos(theta)* 2R= 2sin(theta)^r
Går det bra hittils?
Det verkar lovande.
Jag repeterar för att se om jag håller med.
OCH är nu så trött på theta att jag sätter theta = v för enkelhets skull.
Nu ger vi oss på ∆ABC och ser att sin(v) = AC / 2R dvs AC =2R·sin(v)
Sedan går vi till ∆ANC och ser att cos(v) = h / AC dvs h = 2R·sin(v)·cos(v).
Så långt är jag med, men nästa steg förstår jag inte.
Visa spoiler
Jag får h = 2R·sin(v)·cos(v) = R·sin(2v)
Arktos skrev:Det verkar lovande.
Jag repeterar för att se om jag håller med.
OCH är nu så trött på theta att jag sätter theta = v för enkelhets skull.Nu ger vi oss på ∆ABC och ser att sin(v) = AC / 2R dvs AC =2R·sin(v)
Sedan går vi till ∆ANC och ser att cos(v) = h / AC dvs h = 2R·sin(v)·cos(v).
Så långt är jag med, men nästa steg förstår jag inte.Visa spoiler
Jag får h = 2R·sin(v)·cos(v) = R·sin(2v)
Det kommer från 2cosv*sinv= sin2v
Det är inte nödvändigt kanske, men jag såg att det går att skriva om på ett enklare sätt
Men du skrev 2sin(theta)^r och det hängde jag inte med på.
Nu fortsätter vi med h = R·sin(2v). OK?
Arktos skrev:Men du skrev 2sin(theta)^r och det hängde jag inte med på.
Nu fortsätter vi med h = 2R·sin(2v). OK?
Jag flyttade iväg, förlåt!
Nu ska jag försöka hitta ett utryck för DA
Bra. Då kan vi sedan ställa upp arean som funktion av v .
Rediregeringarna går om varann!
h = R·sin(2v) ska det vara,
NC döper jag till X, då X eller NC är sinv*2r*sinv= 2rsin²v
och NO döper jag till R-x
NO=BA=R-x
DA=2(R-x)=2(R-2R*sin²v)= 2R-4R*sin²v
stämmer det?
Jag är med på att DA = 2R – 2x
och att x = 2R·sin2(v).
Då blir DA = 2R – 4R·sin2(v)
Jag är med!
Tillägg: 17 dec 2022 15:32
OBS!
I denna figur heter fyrhörningen inte längre ABCD utan BCAD.
Det blir lite tokigt. Man brukar gå motsols med bokstaveringen.
Börjar man med B nere till vänster bör det bli BCDE :-)
Varför inte behålla ABCD?
Arktos skrev:Jag är med på att DA = 2R – 2x
och att x = 2R·sin2(v).
Då blir DA = 2R – 4R·sin2(v)Jag är med!
Och då kan jag sätta in värden på formlen A(x)= (b+a)/h *2
B=DA=2R – 4R·sin2(v)
A= 2R
H= R·sin(2v)
alltså
2R+2R-4R*sin²v/2 * sin2v*r
Har jag tänkt rätt än så länge?
Sen tänker jag att jag få derivera arena för att få maximala arean.
arean =h*(a+b)/2 ska det väl vara?
etc
Kolla detaljerna, parenteser, exponenter, stora/små bokstäver.
Sedan återstår "bara" att bestämma max för arean då 0 ≤ v ≤ ?
Snyggt!
----------------------------
OBS! Bokstäverna i hörnen har ändrats i den senaste figuren!
Vi började med ABCD med A nere i vänstra hörnet på fyrhörningen.
I den senaste figuren ligger A uppe till höger.
Då borde B ligga uppe till vänster, etc motsols i bokstavsordning.
men så är det inte heller.
Det som förut hette ABCD heter här BCAD :-)
Det ändrar beteckningarna på sidor och vinklar, men inte formlerna (längderna):
Taket i fyrhörningen är fortfarande 2R – 4R·sin2(v)
Golvet är fortfarande 2R
Höjden är fortfarande R·sin(2v)
Arktos skrev:Det räcker gott!
Men se upp med beteckningarna!
Vi har bara ett theta – vinkeln CAB
Det du kallar "lilla theta" är vinkeln BCN.Vi vet att vinkeln ABC = 90 – θ eftersom vinkeln BCA är rät
Vinkeln NBC = vinkeln ABC = 90 – θ
Vinkeln CNB är rät.
I ∆NBC blir då vinkeln BCN = θ
Puh! Svårt att skriva men lätt att rita och berätta.
Hur går vi vidare?
Ny här men känner totalt igen mig i : Puh! Svårt att skriva men lätt att ….
Haha! Det är en nackdel med detta medium.
Jag borde ha bifogat en ny figur, men det gjorde TS i nästa drag.
BRA! Det enda raka att göra
Såg dock nyss att bokstäverna hade ändrats i den nya figuren .
Lyckligtvis påverkar det inte uttrycken för de sträckor vi behöver.
Se kommentaren i #38
