Tidpunkt då urtavlan delas jämnt?

Detta var lurigare än det såg ut. Är tanken att visarna är "kontinuerliga" eller är de "diskreta"? Det vill säga, går t.ex. minutvisaren jämnt mellan minuterna eller gör den ett hopp när det blir en ny minut?

Om det är den kontinuerliga varianten (vilket jag ursprungligen tolkade det som) har jag svårt att finna exakta lösningar. Det finns klockslag som kommer väldigt nära (på några tiondels grader, t.ex. klockan 00:21:41,7), men inget exakt.

AlvinB skrev:

Detta var lurigare än det såg ut. Är tanken att visarna är "kontinuerliga" eller är de "diskreta"? Det vill säga, går t.ex. minutvisaren jämnt mellan minuterna eller gör den ett hopp när det blir en ny minut?

Om det är den kontinuerliga varianten (vilket jag ursprungligen tolkade det som) har jag svårt att finna exakta lösningar. Det finns klockslag som kommer väldigt nära (på några tiondels grader, t.ex. klockan 00:21:41,7), men inget exakt.

Hej!

Bra poäng! Visarna är kontinuerliga. Kan du visa då analytiskt att det ej finns någon lösning? Snarare, hur visar du det?

Kan man tänka så här? Ett litet motsägelsebevis. Jag bildar uttryck för hur stor vinkel varje visare bildar mot klockan 12 efter $t$ sekunder (anta att starten är precis kl 0:00, så alla visare pekar rakt upp):

Timvisaren (ett varv på 12 timmar): $360^\circ \cdot \frac{t}{12\cdot 3600} = \frac{t}{120}^\circ$

Minutvisaren (ett varv på 1 timme): $360^\circ \cdot \frac{t}{3600} = \frac{t}{10}^\circ$

Sekundvisaren (ett varv på 1 minut): $360^\circ \cdot \frac{t}{60} = 6t^\circ$

Om urtavlan är indelad i tredjedelar måste differensen mellan varje par av visare vara en multipel av $120^\circ$, en tredjedels varv. T.ex. kan man utgå från sekundvisaren, som hunnit längst:

$6t - \frac{t}{10} = 120n_1 \quad \Leftrightarrow \quad 59t = 1200n_1 \\ 6t - \frac{t}{120} = 120n_2 \quad \Leftrightarrow \quad 719t = 120^2n_2$

Dessutom får inga visare sammanfalla, så ingen differens får vara en multipel av $360^\circ$. Därför får inte $n_1$ eller $n_2$ vara multiplar av 3. Men, delar man ekvationerna ovan fås:

$\frac{719t}{59t} = \frac{120^2n_2}{1200n_1} \quad \Leftrightarrow \quad n_1 = \frac{719}{12\cdot 59}n_2$

719 är ett primtal, så för att $n_1$ ska bli ett heltal måste $n_2$ vara en multipel av $12\cdot 59$, vilket innehåller faktorn 3. Men det fick den ju inte göra, då kommer sekund- och timvisaren sammanfalla. Motsägelse alltså, så visarna delar aldrig in tavlan i tredjedelar.

Ser nu att jag slarvade i överföringen från papper till PA, indexen hamnade fel i sista ekvationen. $n_2 = \frac{719}{12\cdot 59}n_1$ ska det vara!