Tid upp tid ner
har fördjupningsuppgift som måste vara klar snart!
Uppgiften lyder:
Om du kastar en boll rakt upp i luften, så tar det en viss tid för bollen att nå sin högsta hölj och en viss tid för bollen att sedan återvända till marken. Men vilket tar längst tid, färden upp eller fallet ned? Eller tar färden upp lika lång tid som fallet ned?
1) Utgå från Newtons andra lag. Bortse från luftmotståndet och ställ upp den differentialekvation som beskriver rörelsen hos en boll som du kastar rakt upp i luften. Lös differentialekvationen och visa att det tar ika lång tid för bollen att nå sin högsta punkt, som det tar för bollen att fall tillbaka till utgångspunkten.
2) Antag i stället att luftmotståndet FlFl är en kraft som är proportionell mot bollens hastighet, dvs FL=−kvFL=-kv. Visa med hjälp av Newtons andra lag att bollens rörelse nu kan beskrivas med differentialekvationen
h''(t) + kmh'(t) = −g h''(t) + kmh'(t) = -g
där h(t) är bollens höjd över marken vid tiden t s.
3) Formulera själv lämpliga begynnelsevillkor och värden på de ingående konstanterna. Lös därefter differentialekvationen och beräkna den tid det tar för bollen att nå sin högsta punkt respektive den tid det tar för bollen att från den högsta punkten åter nå sin utgångspunkt.
4)Värdera din lösning noga. Hur påverkas resultatet av bollens utgångshastighet och värdena på konstanterna k och m?
Klarade 1,2,3 men vet ej hur man gör 4 har vet någon hur ekvationen kommer att påverkas beroende på k och m
Välkommen till Pluggakuten!
Vad kom du fram till på delfråga 1, 2 och framför allt 3? Dessa steg är till för att du så småningom själv skall kunna klura ut svaret på delfråga 4. Vilka begynnelsevillkor och konstatvärden valde du? Hur många olika simuleringar gjorde du? Du borde göra allra minst ett halvdussin olika kombinationer. Vad betyder konstanterna k och m?
hej på fråga 1: kom jag fram till att tid upp är lika med v0 (utgångshastighet) /g och att både tid upp och ner är lika med 2v0/g sedan för att få ut tiden ner tog jag bort (från tid upp och ner tog bort tiden upp som jag räknade ut) 2v0/g-v0/g = då fick jag tid ner lika med v0/g altså tid upp är lika med tid ner om man bortser luftmotstånd.
2) alla krafter som verkar är gravitationskraften och luftmotståndet. De två krafter är lika med m*a och på så sätt kunde jag lösa den.
3) jag antog att k= 0,25 m= 0,5 och v0= 5 och h(0)=1
Jag satte in mina värde i funktionen och löste differentialekvationen av andra ordning. Så fick jag funktionen för H(t) som jag sedan integrerade för att få hastigheten. jag utgick på att bollen når sin högsta punkt då hastigheten är noll och räknade ut tiden för bollen att gå upp. På samma sätt räknade jag ut tiden för bollen att gå upp och ner då jag satte in H(t) =1 som är utgångspunkten.
4) nu tänker jag hur kan olika värde för k och m påverka ekvationen H"(t)+k/m H'(t)=-g
jag skrev om funktionen så den blir istället diffekvation av första ordning :
v'(t)+k/m v(t)=-g
sedan löste jag den och fick att
v(t)= (v0+mg/k)e^-kt/m -mg/k
nu vet jag inte bara hur jag ska analisera vad som händer med denna funktion när utgångshastigheten blir påverkas samt k och m och om jag ens gjorde rätt att skriva om formeln från början
Undersök vad som händer för olika kombinationer av värdena av begynnelsevillkor och värden på konstatntera.
