Tid upp, tid ner
Hej!
Jag har väldigt svårt att lösa denna uppgift och skulle uppskatta enormt om någon kunde hjälpa mig! Jag såg att det fanns en tråd om exakt samma uppgift men mina frågor skiljersig en del så jag tänkte att jag skapar en ny tråd. Den andra tråden är denna: https://www.pluggakuten.se/trad/redovisningsuppgifter-tid-upp-tid-ner/ Jag citerar uppgiften från den.
Om du kastar en boll rakt upp i luften, så tar det en viss tid för bollen att nå sin högsta hölj och en viss tid för bollen att sedan återvända till marken. Men vilket tar längst tid, färden upp eller fallet ned? Eller tar färden upp lika lång tid som fallet ned?
1) Utgå från Newtons andra lag. Bortse från luftmotståndet och ställ upp den differentialekvation som beskriver rörelsen hos en boll som du kastar rakt upp i luften. Lös differentialekvationen och visa att det tar ika lång tid för bollen att nå sin högsta punkt, som det tar för bollen att fall tillbaka till utgångspunkten.
2) Antag i stället att luftmotståndet FlFl är en kraft som är proportionell mot bollens hastighet, dvs FL=−kvFL=-kv. Visa med hjälp av Newtons andra lag att bollens rörelse nu kan beskrivas med differentialekvationen
h''(t) + kmh'(t) = −g h''(t) + kmh'(t) = -g
där h(t) är bollens höjd över marken vid tiden t s.
3) Formulera själv lämpliga begynnelsevillkor och värden på de ingående konstanterna. Lös därefter differentialekvationen och beräkna den tid det tar för bollen att nå sin högsta punkt respektive den tid det tar för bollen att från den högsta punkten åter nå sin utgångspunkt.
4)Värdera din lösning noga. Hur påverkas resultatet av bollens utgångshastighet och värdena på konstanterna k och m?
-----------------------------------
1) har jag lyckats lösa med hjälp av de som tidigare svarat på den andra tråden.
2) Jag förstår mig inte på denna. Det jag har gjort hittils är detta:
Min fråga är om man kan göra på detta sätt när h'(t) befinner sig i ekvationen. Jag hittar ingenting i boken om hur man ska permittera när h'(t) finns där så jag behandlar den som en konstant, är det korrekt?
3) I andra tråden står det lite kort om denna men jag förstår inte riktigt hur man skulle göra. Jag vet inte om det är på grund av att jag inte vet om min ekvation är korrekt. Jag förstår inte hur man skall hitta max punkten eftersom om man sätter in h'(t) till 0 så måste vi fortfarande hitta alla t och h(t) och det går väl inte?
4) tror jag att jag förstår om jag förstår 3).
Tack på förhand för svar, har suttit och klurat på denna länge men inte förstått :(
2) Nej, du kan inte göra så. Att integrera ekvationen ett steg är lätt. h" blir h', h' blir h, g blir gt+konst. Men att lösa förstagradsekvationen är värre. Det finns ett trick - multiplicera bägge leden med exp(kt/m).
Tack så mycket för ditt snabba svar!
Jag tror jag förstår, så detta skulle vara rätt sätt?
Jag fårstår dock inte vad du menar med att man skall multiplicera båda leden med exp(kt/m), blir det inte bara mer komplicerat då? Jag testade att istället bryta ut h'(t), det kanske är bättre?
är detta ett korrekt sätt att lösa det på? då får jag h(t) ensamt och jag använder de deriverings reglerna som du skrev men förstår fortfarande inte riktigt hur detta skall fungera. oavsätt vilken t jag använder i denna funktionså kommer ju höjden att bli negativ (om inte h0 är hög). Det kan ju inte vara rätt?
Det sista du skrev är precis detsamma som det första du skrev. På det sättet får man en första ordningens diffekvation men att sedan lösa den är besvärligt. Det trick jag angav gör att vänsterledet blir derivatan av h(t)*exp(kt/m). Men är det verkligen meningen att ni ska kunna lösa sådana diffekvationer?
