Text uppgift graf. (Matematik/Matte 4)

För att $y(t)$ ska vara större än $22$ så måste $3\sin(\frac{\pi t}{6}-\frac{2\pi}{3})$ vara större än $2$ .

Det ger dig en olikhet att lösa.

Börja då med att tillfälligt byta ut det krångliga vinkeluttrycket mot ett annat, t.ex. $v$ .

Olikheten blir då $3\sin(v)$ > $2$ .

Lös den med hjälp av enhetscirkeln och din räknare. Du får ett närmevärde på $v$ plus en periodicitet på $2\pi$ .

Byt sedan tillbaka från $v$ till det krångliga vinkeluttrycket och förenkla.

Har för mig att det är sin 0,74 eller något liknande isåfall. Men hur ska jag räkna ut det genom enhets cirkeln eller räknare.
alltså hur ser själv uträkningen ut?
är det möjligtvis

3 sin x = 2

Sin x = 2/3
Arcsin 3/2 = x

plommonjuice87 skrev:
Har för mig att det är sin 0,74 eller något liknande isåfall. Men hur ska jag räkna ut det genom enhets cirkeln eller räknare.
alltså hur ser själv uträkningen ut?
är det möjligtvis

3 sin x = 2

Sin x = 2/3
Arcsin 3/2 = x

Rätt, men ofullständigt. Använd enhetscirkeln för att hitta en lösning till, och glöm inte periodiciteten!

Detta är vad jag får det till.

dock förstår jag ej hur jag ska kunna tänka ut det i enhets cirkeln. Jag vet att ska ha perioden 360 grader eller så två pi. Är det allt? 0,73 rad + n * 2pi ?

Du kan använda enhetscirkeln så här för att hitta lösningarna till sin(v) = 2/3.

Kan du med hjälp av det se hur lösningarna till sin(v) > 2/3 ska se ut?

Är det att sin v måste vara större än 0,729.. rad?
men förstår inte riktigt den andra pi - v blir ju 2,411 ungefär. Ska sin v vara större än 2,411 med?

Nej du blandar ihop själva vinkeln med sinusvärdet av vinkeln.

Så här är det:

En punkt på enhetscirkeln har koordinaterna (cos(a), sin(a)), där a är vinkeln mellan den positiva delen av den horisontella axeln och en radie, mätt moturs.
Det betyder att sinusvärdet av en vinkel a är lika med den vertikala koordinaten för ovan nämnda punkt.
På samma sätt är cosinusvärdet av en vinkel a lika med med den horisontella koordinaten för ovan nämnda punkt.

Se bild, där jag med grönt har markerat den del av enhetscirkeln som uppfyller att sinusvärdet av vinkeln är större än 2/3.

Jag har även markerat koordinaterna för de två punkter där sinusvärdet av vinkeln är lika med 2/3.

I bilden framgår det att sin(v) = sin(pi-v).

I bilden framgår det även att villkoret sin(a) > 2/3 är uppfyllt för v < a < pi-v.

Ekvationen sin(v) = 2/3 har alltså de ungefärliga lösningarna v = 0,73 radianer och v = pi-0,73 = 2,41 radianer, vilket betyder att olikheten sin(v) > 2/3 har dennungefärliga lösningsmängden 0,73 < v < 2,41 radianer.

Kommer du vidare då?

Ja Tsck det var en jättebra förklaring.
förstår inte helt det sista med olikheten. Är det större än två här i mellan? Vad händer efter 2,41? Är det 3 då eller ?

plommonjuice87 skrev:
förstår inte helt det sista med olikheten. Är det större än två här i mellan? Vad händer efter 2,41? Är det 3 då eller ?

Är du med på att 0,73 < v < 2,41 betyder "v är större än 0,73 men mindre än 2,41", dvs att v ligger mellan 0,73 och 2,41?

I det här sammanhanget, att alla vinkelvärden v mellan 0,73 och 2,41 uppfyller olikheten sin(v) > 2/3?

Aha ja då förstår jag.
men om v är mindre än 0,73 så är det ju mindre än 2 . Men om det är mer än 2,41 borde det inte vara mer än 3 då?

Pröva!

Ställ in räknaren på radianer och slå sin(3).

Vad får du för resultat?

Försök att förklara resultatet med hjälp av enhetscirkeln.

Jag får svaret till 0,14? Det känns fel eller är det verkligen rätt? Den är inställd på radianer

plommonjuice87 skrev:
Jag får svaret till 0,14? Det känns fel eller är det verkligen rätt? Den är inställd på radianer

Varför tycker du att det känns fel? Rita in den vinkeln/punkten i Yngves enhetscirkel!

Såhär tänker jag att det blir då?

Din bild är delvis rätt, men 0,14 är inte en vinkel, dvs det är inte 0,14 radianer.

Vinkeln är 3 radianer, vilket motsvarar ungefär 172°.

sinusvärdet av 3 radianer är ungefär 0,14.

Rita en horisontell linje på höjden 0,14.

Jag menar så här:

Ser du att den horisontella linjen skär enhetscirkeln ungefär vid punkten (-0.99, 0,14)?

Ser du att den radie som också når enhetscirkeln vid den punkten bildar vinkeln 3 radianer mot den positiva horisontella axeln?

I bilden så har vi illustrerat att sin(3) $\approx$ 0,14 och att cos(3) $\approx$ -0,99.

Aha okej då förstår jag ändå ganska bra.
kom dock på att sin x = 3 inte är är vad vi ska räkna ut.

3 sin x = 3 är vad vi ska räkna ut. För att graderna ska vara över 22 grader är ju när 3 sin x är mellan 2 och 3.

Vi behöver kanske inte detta alls nu när jag tänker på det för det kan ju inte bli över 3 ändå? Jag är alltså osäker på nästa steg i uppgiften…

Vi kollar om du har förstått.

Sätt fingret på enhetscirkeln vid punkten (1,0) och tänk dig en radie från origo ut till ditt finger.
Är du med på.att denna punkt motsvarar vinkeln 0 radianer, dvs att vinkeln mellan radien och den positiva delen av den horisontella axeln är 0 radianer?
Är du med på att sinusvärdet av denna vinkel är 0, dvs sin(0) = 0?
Är du med på att du nu håller fingret på den horisontella axeln, dvs att höjden ovanför den horisontella axeln är lika med 0?
Flytta nu fingret långsamt moturs längs med enhetscirkeln.
Är du med på att vinkeln mellan radien och den positiva delen av den horisontella axeln då ökar?
Är du med på att fingrets höjd ovanför den horisontella axeln nu ökar så länge du är kvar i den första kvadranten?
Är du med på att när du har kommit högst upp på enhetscirkeln, dvs till punkten (0, 1) så är vinkeln pi/2 radianer?
Är du med på att det betyder att sinusvärdet av en vinkel ökar i takt med att vinkeln ökar från 0 till pi/2 radianer?
Är du med på men att sinusvärdet inte blir större än 1, dvs att fingret inte lämnar cirkeln och fortsätter uppåt?
Fortsätt nu att långsamt flytta fingret moturs, så att vinkeln alltså blir större än pi/2.
Är du med på att fingrets höjd ovan den horisontella axeln då minskar?
Är du med på att det betyder att sinusvärdet minskar då vinkeln ökar från pi/2 och uppåt?
Är du med på att sinusvärdet återigen blir 0 då fingret har rört sig ett halvt varv, dvs då vinkeln är pi radianer?
Är du med på att ditt finger då pekar på punkten (-1, 0)?
Är du med på att sinusvärdet blir negativt då vinkeln fortsätter att öka förbi pi radianer?
Är du med på att det lägsta sinusvärdet som går att få är -1, och att det fås då vinkeln är 3pi/2 radianer?
Är du med på att ditt finger då pekar på punkten (0, -1)?
Är du med på att sinusvärdet återigen ökar upp mot 0 då vinkeln ökar från 3pi/2 radianer upp till 2pi radianer (ett helt varv)?

Ja precis allt det förstår jag ändå väldigt bra faktiskt.
så just nu har vi räknat ut att x måste vara större än 0,74 och mindre än 2,41 för att värdet ska vara större än 2 då.

det förstår jag väldigt bra nu tack vare din förklaring så tack!

men nu när vi vet vad 3 sin (x) ska vara.
vad ska nästa steg i uppgiften vara?

Vi började med att ersätta det krångliga uttrycket $\frac{\pi t}{6}-\frac{2\pi}{3}$ med $v$ .

Vi kom fram till att vi då skulle lösa olikheten $3\sin(v)$ > $2$ , dvs $\sin(v)$ > $\frac{2}{3}$ .

Vi kom fram till att denna olikhet har de ungefärliga lösningarna $0,73$ < $v$ < $2,41$ .

Nu är ju sinusfunktionen periodisk med perioden $2\pi$ , så $v$ skulle lika gärna kunna ligga i intervallet $0,73+2\pi$ < $v$ < $2,41+2\pi$ .

Vi kan generalisera detta till att gälla godtycklig period, vilket ger oss att $0,63+n\cdot2\pi$ < $v$ < $2,41+n\cdot2\pi$ .

Om vi nu byter tillbaka från $v$ till $\frac{\pi t}{6}-\frac{2\pi}{3}$ så får vi $0,63+n\cdot2\pi$ < $\frac{\pi t}{6}-\frac{2\pi}{3}$ < $2,41+n\cdot2\pi$

Vi kan addera $\frac{2\pi}{3}$ till hela olikheten och vi får då $0,63+\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi$ < $\frac{\pi t}{6}$ < $2,41+\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi$

Om vi nu multiplicerar hela olikheten med $\frac{6}{\pi}$ så får vi $\frac{0,63\cdot6}{\pi}+\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{6}{\pi}+n\cdot2\pi\cdot\frac{6}{\pi}$ < $t$ < $\frac{2,41\cdot6}{\pi}+\frac{3\pi}{3}\cdot\frac{6}{\pi}+n\cdot2\pi\cdot\frac{6}{\pi}$

Nu kan du snygga till uttrycket för att få fram de återkommande tidsintervall inom vilka tidpunkten $t$ måste ligga för att temperaturen i det gamla huset ska ligga över 22 °C.

Antar att du skrev fel på vissa saker t.ex på 0,63 ska egentligen vara 0,73 och att på sista uträknade att det ska vara 2pi/3 och inte 3pi/3

men iallafall här är mina förenklingar. Dessa var väldigt långa så du får jätte gärna dubbelkolla så det inte är helt fel. Men annars tror jag jag har lyckats

12 * n ska det stå! Inte 12 * pi

Ja det stämmer att jag skrev fel på flera ställen.

Din förenkling är rätt.

Fortsätt nu att ta fram närmevärden a och b så att du får ett uttryck på formen a+12n < t < b+12n.

Då blir det enklare att tolka resultatet.

Du menar lägg in värdet på pi osv? Då blir det såhär.

Ja det ser bra ut.

Kan du, med hjälp av detta, på ett enkelt sätt beskriva under vilka tider på dygnet som Gunilla inte fryser i huset?

Ja det är väl mellan 5,4 timmar och 8,603 timmar. Sen händer samma sak igen 12 timmar framåt?

Ja. Vad är klockan då?

05.24 och 08.36 ungefär och sedan 17,24 och 20,36

Ja, det stämmer. Och det upprepar sig varje dygn.

Det kan vara vettigt att avrunda till halvtimmar här, eller åtminstone 10-minutrar.

Aha ja okej! Tack så hemskt mycket för all hjälp. Den var jätte bra 👍👍👍👍