Termvis derivering, serier

Hej!

Förstod inte riktigt vad läraren menade med hur man gör på en uppgift som denna:

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k (k + 1)}, r ä k n a u t f ö l j a n d e s u m m a m e d h j ä l p a v e x e m p l e t i k u r s b o k e n . D e n h ä n v i s a r t i l l a t t : f (x) = \frac{1}{1 - x} h a r e n p r i m i t i v f u n k t i o n - \ln (1 - x) o c h \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k} = - \ln (1 - x) F ö r s t å r f o r t f a r a n d e i n t e h u r j a g s k a a n v ä n d a d e s s a f ö r a t t r ä k n a u t u p p g i f t e n . A n t a r a t t j a g v i l l f ö r s ö k a b r y t a u t n å g o t u r s u m m a n s å a t t j a g f å r \frac{x^{k}}{k} k v a r d ä r i n n e ? M e n h i t t a r v e r k l i g e n i n t e n å g o t f ö r d e t t a!$

Kan ni förklara för mig vad som är tänkt att göra?

Utan att ha löst uppgiften tror jag att ett angreppssätt kan vara att derivera varje term i summan

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k(k+1)}$

med avseende på $x$ . Du får då en summa som liknar den senare.

Hur menar du med "derivera varje term i summan"?

såhär? $\frac{d}{d x} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2} + k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(k x^{k - 1}) (k^{2} + k) - x^{k} (2 k + 1)}{(k^{2} + k)^{2}}$

rohanzyli skrev :
Hur menar du med "derivera varje term i summan"?
såhär? $\frac{d}{d x} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{2} + k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(k x^{k - 1}) (k^{2} + k) - x^{k} (2 k + 1)}{(k^{2} + k)^{2}}$

$\frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k+1)}=\frac{1}{x^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{(k+1)}$

Svara

Visa senaste svar