Tentauppgift med gradient och nivåkurva

Jag är lite rostig på flervariabelsanalysen, men jag lämnar mitt förslag här så får du se om du får någon användning av det:

g(t) skulle man kunna räkna ut att den är $\frac{1}{6}{t}^2-t+\frac{17}{6}$ med $0\le t\le 6$ (man tittar på kurvan, ser att de är en andragradskurva och sätter upp tre ekvationssystem för att lösa ut koefficienterna).

$f(x,y)=g(\frac{1}{4}{x}^2+y^2)$ betyder egentligen bara att om exempelvis g(t)=t+3 kommer $f(x,y)=\frac{1}{4}{x}^2+y^2+3$. Jag har bara stoppat in $\frac{1}{4}{x}^2+y^2$ istället för t. För det är ju vad t är.

Då skulle du alltså kunna räkna ut vad f är eftersom du har g(t), så du stoppar bara in $t=\frac{1}{4}{x}^2+y^2$ i denna. Och det gäller så länge $0\le t\le 6$, alltså $\frac{1}{4}{x}^2+y^2\le 6$ (man behöver inte skriva ut 0:an, det är ju bara kvadrater så de blir aldrig mindre än 0 ändå).

Och när du då har f borde uppgiften in vara så svår. Men även om jag kanske har skrivit självsäkert så är jag inte helt hundra på att detta är korrekt. Men om du inte har något annat kan du ju prova.

Hondel skrev :

Jag är lite rostig på flervariabelsanalysen, men jag lämnar mitt förslag här så får du se om du får någon användning av det:

g(t) skulle man kunna räkna ut att den är $\frac{1}{6}{t}^2-t+\frac{17}{6}$ med $0\le t\le 6$ (man tittar på kurvan, ser att de är en andragradskurva och sätter upp tre ekvationssystem för att lösa ut koefficienterna).

$f(x,y)=g(\frac{1}{4}{x}^2+y^2)$ betyder egentligen bara att om exempelvis g(t)=t+3 kommer $f(x,y)=\frac{1}{4}{x}^2+y^2+3$. Jag har bara stoppat in $\frac{1}{4}{x}^2+y^2$ istället för t. För det är ju vad t är.

Då skulle du alltså kunna räkna ut vad f är eftersom du har g(t), så du stoppar bara in $t=\frac{1}{4}{x}^2+y^2$ i denna. Och det gäller så länge $0\le t\le 6$, alltså $\frac{1}{4}{x}^2+y^2\le 6$ (man behöver inte skriva ut 0:an, det är ju bara kvadrater så de blir aldrig mindre än 0 ändå).

Och när du då har f borde uppgiften in vara så svår. Men även om jag kanske har skrivit självsäkert så är jag inte helt hundra på att detta är korrekt. Men om du inte har något annat kan du ju prova.

Tack för dit förslag, jag ska testa det. Men hur vet du att kurvan inte är t.ex en bit av en $x^4$ - kurva?

Ja det är en bra fråga. Jag tror du kanske ska skrota min idé. 

 Om g(t)=s=2, vad är då $t=1/4x^2+y^2$?

Guggle skrev :

 Om g(t)=s=2, vad är då $t=1/4x^2+y^2$?

amen vafan, nu när jag läser ditt inlägg inser jag att det står g AV $(\frac{1}{4}{x}^2+y^2)$ inte g gånger. Tack, ska försöka igen.

Hej!

Trodde du att det stod $f(x,y) = g(t) \cdot (\frac{1}{4}x^2+y^2)$? Det är meningslöst, eftersom objektet på höger sida om likhetstecknet beror på $x$, $y$ och $t$ medan objektet på vänster sida beror på $x$ och $y$.

Grafen till funktionen $g$ visar att $g(t) = 2$ när $t = 1$ eller när $t=5$. Det betyder att nivåkurvan $f(x,y) = 2$ är unionen av ellipserna $0.25x^2+y^2 = 1$ samt $0.25x^2+y^2 = 5$.

Albiki

Hej!

Gradienten till funktionen $f$ är lika med följande vektor.

    $(\nabla f)(x,y) = (g'(t(x,y))\cdot 0.5x\ ,g'(t(t,x))\cdot 2y) = 0.5g'(t(x,y))\cdot(x\ , 4y)$,

där $t(x,y) = 0.25x^2+y^2$.

Från detta ser du att funktionens $f$ stationära punkter är $(0,0)$ och de $(x,y)$ sådana att $g'(t(x,y)) = 0$; grafen till funktionen $g$ visar att derivatan $g'(3) = 0$ vilket betyder att alla punkter som ligger på ellipsen $0.25x^2+y^2 = 3$ är stationära punkter till funktionen $f$.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Trodde du att det stod $f(x,y) = g(t) \cdot (\frac{1}{4}x^2+y^2)$? Det är meningslöst, eftersom objektet på höger sida om likhetstecknet beror på $x$, $y$ och $t$ medan objektet på vänster sida beror på $x$ och $y$.

Grafen till funktionen $g$ visar att $g(t) = 2$ när $t = 1$ eller när $t=5$. Det betyder att nivåkurvan $f(x,y) = 2$ är unionen av ellipserna $0.25x^2+y^2 = 1$ samt $0.25x^2+y^2 = 5$.

Albiki

Ja, det trodde jag tyvärr. Om jag hade tänkt så på tentan hade jag fått 0 poäng,