Tentafråga serie

$$\begin{gathered} \frac{\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{n}=\frac{n\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{n^2} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \left(\frac{1}{n}\right) = \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{x}=1 \end{gathered}$$

Så det är en $\sum _{}^{}\frac{1}{n^2}$ typ serie som är konvergent.

Problemet med din lösning är att 

$-2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n} = -\infty$ (ja, divergent, men negativ)

medan  $\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{n}$ är alltid positiv.

Du bör istället visa att  $0 < \frac{\sin (1/n)}{n} <\frac{1}{n^2}$

Macilaci skrev:

$$\begin{gathered} \frac{\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{n}=\frac{n\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{n^2} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \left(\frac{1}{n}\right) = \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{x}=1 \end{gathered}$$

Så det är en $\sum _{}^{}\frac{1}{n^2}$ typ serie som är konvergent.

Problemet med din lösning är att 

$-2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n} = -\infty$ (ja, divergent, men negativ)

medan  $\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}{n}$ är alltid positiv.

Du bör istället visa att  $0 < \frac{\sin (1/n)}{n} <\frac{1}{n^2}$

Aha, vänta så man får ALDRIG använda en negativ serie i något av alla testen?

Det beror på vad du ska testa. 

Läs igen beskrivningen av jämförelsetestet. T.ex. här: https://ludu.co/course/envarre/serier-konvergens-divergens/

("...som bara innehåller positiva termer...")

Macilaci skrev:

Det beror på vad du ska testa. 

Läs igen beskrivningen av jämförelsetestet. T.ex. här: https://ludu.co/course/envarre/serier-konvergens-divergens/

("...som bara innehåller positiva termer...")

Tack så mycket!