Tenta imorgon, vågekvation/värmeledningsekvation

Nyckeln i det här problemet är ju variabelseparationen. Den grundar sig i observationen att när vi har ekvationen:

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}$

måste dessa led vara lika med någon konstant eftersom leden beror av olika variabler (om variablerna är olika får de ju inte ändras för att likheten skall behållas, därav måste leden vara konstanta). Vi kan då sätta lika med någon konstant. Du har sett att man både sätter lika med $-\lambda$ och $\lambda$ i olika fall. Vilket av dessa man gör spelar egentligen inte så stor roll, det är mest bara en estetisk fråga. Om man i det här fallet väljer att sätta lika med $\lambda$ blir $\lambda$ negativt och man får uttryck som t.ex. $\sqrt{-\lambda}$, vilket inte är särskilt snyggt. Därför väljer man att sätta lika med $-\lambda$, men det blir inget matematiskt fel om man sätter lika med $\lambda$.

Sedan finns det även saker i den fysikaliska tolkningen (t.ex. att man vill ha positiva mätetal för många konstanter) som kan göra att man vill ha $\lambda$ positivt och därför väljer att sätta lika med $-\lambda$.

Okej det förstår jag, men efter man har gjort seperationen vad är nästa steg?

Då skall vi börja lösa ut för $T(t)$ och $X(x)$. Eftersom vi satte båda leden lika med $-\lambda$ kan vi betrakta ekvationerna

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-\lambda\Rightarrow T'\left(t\right)=-\lambda T\left(t\right)$

och

$\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda\Rightarrow X''\left(x\right)=-\lambda X\left(x\right)$

separat. Båda dessa är hyfsat enkla homogena ekvationer av första respektive andra ordningen. Klarar du att lösa dem?