Tenta imorgon. Bestäm två linjärt oberoende lösningar till systemet.

Du har gjort ett slarvfel. Om du sätter $u_1=1$ blir $u_2=2$, inte $0$. Då blir vektorn $\bar{u}=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}^T$.

Men vad jag tror din fråga egentligen handlar om är huruvida lösningsmängden som ges av fundamentalmatrisen

$\Phi\left(t\right)=\begin{bmatrix}e^{2t} & te^{2t}+e^{2t}\\e^{2t} & te^{2t}+2e^{2t}\end{bmatrix}$

är ekvivalent med lösningsmängden som ges av facits fundamentalmatris

$\Phi\left(t\right)=\begin{bmatrix}e^{2t} & te^{2t}\\e^{2t} & te^{2t}+e^{2t}\end{bmatrix}$

Svaret är ja.

Om vi vill visa detta kan vi uttrycka lösningsmängderna som:

$y_1=a\begin{bmatrix}e^{2t}\\e^{2t}\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}te^{2t}+e^{2t}\\te^{2t}+2e^{2t}\end{bmatrix}$

$y_2=c\begin{bmatrix}e^{2t}\\e^{2t}\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}te^{2t}\\te^{2t}+e^{2t}\end{bmatrix}$

Om vi nu börjar med lösningsmängd $y_1$:

$y_1=a\begin{bmatrix}e^{2t}\\e^{2t}\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}te^{2t}+e^{2t}\\te^{2t}+2e^{2t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ae^{2t}+bte^{2t}+be^{2t}\\ae^{2t}+bte^{2t}+2be^{2t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ae^{2t}+be^{2t}+bte^{2t}\\ae^{2t}+be^{2t}+bte^{2t}+be^{2t}\end{bmatrix}=\left(a+b\right)\begin{bmatrix}e^{2t}\\e^{2t}\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}te^{2t}\\te^{2t}+e^{2t}\end{bmatrix}$

Låter vi nu $c=a+b$ och $d=b$ får vi lösningsmängd $y_2$, och alltså är de ekvivalenta.