Temperatur och Differential ekvationer

Vad har du själv för tankar? Har du börjat/försökt med något? Detta forum syftar inte främst till att skriva svar/lösningar direkt, så du får nog börja med att visa hur långt du kommit på egen hand.

Tja, anledningen att jag enbart skrev frågan beror på att jag inte har en blekaste aning om hur jag ska starta eller hur jag ska tänka, då jag hoppas av nån där ute kan hjälpa till med det. 

Du läser Ma5, så du borde kunna ställa upp hur lösningen till din diffekvation ser ut. Vilken sorts funktion handlar det om?

Du varm är en kopp nybryggt kaffe, tror du?

Dur varmt är det rimligt att det är på balkongen en morgon som är sådan att man vill dricka kaffe ute på balkongen?

Hur snabbt kaffet kallnar är svårare att uppskatta/anta/gissa.

Ingen annan på detta forum som kan komma med bra lösningar ?  Smaragdalena det där kan väll alla anta, ingen hjälp alls. Fråga 2 är den som är kämpig. 

2. Är en uppgift som du behöver utföra experiment för att lösa. Ingen av oss vill göra dessa experiment åt dig.

1. Man kan anta att kaffets ursprungs temperatur är 96 grader C till exempel. Omgivningen kan vara 13 grader C som är en vanlig maj-morgon i Sverige. Då har du differential ekvationen

     $T\text{'}\left(t\right)=-k·\left(96-13\right)=-83k.$

Den allmäna lösningen till denna ekvation fås genom integrering av bägge led:

     $\int T\text{'}\left(t\right)dt=\int (-83k)dt\iff T\left(t\right)=-83kt+C.$

Macaren skrev :

Ingen annan på detta forum som kan komma med bra lösningar ?  Smaragdalena det där kan väll alla anta, ingen hjälp alls. Fråga 2 är den som är kämpig. 

Eftersom du inte hade svarat på någon av de frågorna själv, trodde jag att du behövde lite hjälp. Om du inte visar vad du har gjort själv, är det svårt att ge dig rätt hjälp.

okej tack för hjälpen, nu börjar jag förstå lite mer. Men blir den allmänna lösningen då T(t)= -83kt + C ? 

Diff-ekvationen $\frac{dT}{dt} = -k(T-T_{omg})$ har lösningen $T\left(t\right) = C· e^{-k(T-T_{omg})}$. C får du fram genom temperaturen när t = 0, vad $T_{omg}$ betyder är väl ganska uppenbart. Lirim.K tappade visst bort en del av lösningen. Om du vet temperaturen vid en tidpunkt till (förutom när t = 0) kan du få fram ett experimentellt värde på k som gäller för just din kopp.

Jag har kommit lite längre nu och det skulle uppskattas om ni kunde hjälpa mig vidare. Efter att integrerat så fick jag allmänna lösningen: T(t)=-55Kt+ C. 

Därefter gjorde jag två experiment där jag använde mig av glas kopp och en trä kopp mätte att  kaffets ursprungstemp var 70 grader och hade kaffet där i 1h. Glaskoppen fick jag såhär:

70= -55kt
30= -55k*t
30= 55- k* 1

K= - 30/55
K= -0,54

Glas kopp:

70= -55kt
40= -55k*t
40= 55- k* 1

K= - 40/55
K= -0,73

Då har jag alltså fått ut k värdet på två olika material, ska jag sedan räkna ut på liknande sätt fast använde 0,5 istället för 1 på t eftersom jag ska räkna ut efter en halvtimme? Eller är jag helt ute och cyklar?

Vad är 55 i din formel? Vart har omgivningens temperatur tagit vägen?

Jag missade lite detaljer i mitt tidigare svar. Differential ekvationen kan skrivas

     $T\text{'}\left(t\right)=-k\left(T\left(t\right)-T_{omg}\right)$

vars allmänna lösning ges av

     $T\left(t\right)=T_{omg}+e^{-kt}\left(96-T_{omg}\right)+C.$

Vid tiden $t=0$ är ursprungs temperaturen enligt antagande 96 grader. Alltså är begynnelse villkoret $T\left(0\right)=96.$ Antar man även att omgivningens temperatur är $T_{omg}=13$ grader så får man att

     $T\left(0\right)=e^{-k·0}+13+C=96\iff C=0.$ 

Du har därmed en partikulär lösning

     $T\left(t\right)=13+83e^{-kt}.$

EDIT: Intressant att begrunda detta resultat för ett intuitiv förståelse och lämplighetsbedömning. Varför ser funktionen ut som den gör? D.v.s att den börjar på 13? Jo, $T\to 96$ är maximal då $t\to 0.$ Detta är självklart eftersom ju kortare tid kaffet fått stå ute i omgivande lägre temperatur desto mindre har temperaturen hunnit avta. Tvärt om gäller det att $T\to 13$ då $t\to \infty$. Ju längre tid kaffet får stå ute, desto närmare kommer kaffets temperatur omgivningens. Observera att kaffets temperatur aldrig kan gå under 13 eftersom $e^{-kt}>0$ för alla reella $t$.

_________________________

Har du i ditt experiment kaffe med ursprungstemperatur 70 grader efter en timme i en omgivningstemperatur på 13 grader så gäller det att

     $T\left(1\right)=13+83e^{-k·1}=70\Rightarrow k=-\ln \left(\frac{67}{83}\right)\approx 0.21415.$

Du kan göra samma beräkning för k-värdet på den andra koppen. Sedan kan du beräkna temperaturen för kaffet efter en godtycklig tid beroende på vilken kopp du använder.

Om du får en lösning av typen 

T(t) = -55Kt + C

(linjär lösning) så har någonting gått snett. Om du låter koppen stå i några timmar så skulle det vara förvånande om koppens T inte är samma som omgivningens T. 

Med T(t) = -55Kt + C kan koppens T bli mindre än omgivningens T (och även mindre än absoluta nollpunkten) . 

Och jag tappade bort konstanttermen med omgivningens temperatur. Den behövs, naturligtvis.

Först räknar jag ut homogen sedan inhomogena och lägger ihop dem. Y= Yp+ Yh

Homogena lösningen:

Skriver om ekvationen: T´=-KT+ KTomg > T´+KT=KTomg

Homogena lösningen fås genom VL=0

T´+KT=0

T`=-KT och har allmänna lösningen: T= Ce^-kt

-------------------

Inhomohena Skriver om ekvationen till: T´+KT=K* Tomg

Genom prövning:T=a T´=0

VL=0+Ka
HL=Tomg*K

HL=VL > Ka= Tomg* K

a= Tomg 
Tomg hade jag mätt till 15 grader. Så a kommer att bli 15. Yp= 15

NU kan vi sätta ihop Yp och Yh: Y= Ce^-kt + 15.
Nu kan vi även räkna ut C då vi vet att startemperaturen som jag mätte var 70 grader Y(0)=70 

70=Ce^(-k*0) + 15
C=55 

y=55e^(-kt) + 15

-----------------------------

Efter detta utförde jag två experiment T1 som var med en glaskopp och T2 som jag använde mig av trä kopp.

T1

Kaffet mättes till 35 grader efter 1 timme och omgivningstemp var 15 grader.

Ekvationen blev följande:

35=55e^(-k*1) + 15
20/55= e^-k 

0,36= e^-k 
ln 0,36= -k ln e
k= -ln 0,36

k1= 1.02

T2

Kaffet mättes till 24 grader efter 1 timme och omgivningstemp var 15 grader.

Ekvationen blev följande:

24=55e^(-k*1) + 15
9/55= e^-k 

0,16= e^-k 
ln 0,16= -k ln e
k= -ln 0,16

k2= 1.83

----------------

Detta är alltså vad jag kommit fram till om ni upptäcker något fel eller vill tillägga någonting kommentera gärna. I nästa inlägg presenterar jag fortsättningen på denna uppgift som ni gärna får hjälpa till med

Fullföljninguppgiften är följande.

I differentialekvationen ovan förutsätter vi att den omgivande temperaturen är konstant . Men anta att den omgivande temperaturen Tomg beror av tiden enligt Tomg= at+ b där t är tiden i timmar efter det att du gick ut med kaffekoppen på balkongen.

1. Samla in data om temperaturförändringen under morgontimmmarna, t.ex. där du bor. Anpassa en rät linje Tomg till dina mätvärden och lös sean differentialekvationen på nytt genom att ersätta Tomg med den linjära funktionen.
2. Undersök för några rimliga värden på konstanten k, kaffets temperatur efter en halvtimme enligt denna modell.
3. Diskutera och jämför resultaten.

------------------------

Okej så jag har funderat lite och tänker att y= at+ b är  samma som Y= kx+ m

Vi har k värdet som jag tagit fram genom medelvärdet av K1 och K2 som blev 1.425. Och k värdet är detsamma som a värdet i funktionen. Och b värdet är detsamma som m värdet och m värdet är detsamma som startvärdet alltså 55 ( C värdet). Då får vi funktionen: y= 1.425t + 70. 

Efter detta tänker jag att man kan lägga in denna funktion i grund diffekvationen som vi fick från början alltså:

Byter alltså ut Tomg från grundekvationen till 1.425t + 7. 

Y´= -k(T-1.425T+70)

Sedan gör jag likadant som tidigare fast med denna ekvationen räknar ut inhomogena och homogena för att seda n jämföra och tolka svaren. 

Är detta rätt eller helt fel jag har ingen anning? detta är bara en gissning? och om det är rätt hur ska jag räkna ut inhomogena och homogena med den nya diffekvationen. 

Tack på förhand!