Teckentest matematisk statistik

Mitt försök:

Observationerna $x_1,...,x_n$ är utfall av en binomialfördelad stokastisk variabel $X, X\in\text{Bin}(10,\frac{1}{2})$ . Här tänker jag att från stickprovet uppfyller komponenten kravet där livslängden är $\mu_0\geq1200$ eller inte då $\mu_1<1200$ . Sannolikheten är då $p=\frac{1}{2}$ och vi vill då testa hypoteserna:

$H_0\colon \mu=1200$ mot $H_1\colon \mu<1200$ .

I nästa steg blir jag fundersam då kriteriet är att 75% av komponenterna ska hålla minst 1200 timmar. Jag tänker mig att $X$ är antalet driftstimmar med mindre än 1200 timmar, och från de 10 utfall är 4 mindre än 1200h. Jag ställer upp problemet med p-värdesmetoden:

$P(X\geq7.5)=P(X\geq8)=1-P(X\leq7)=1-\sum_{k=0}^{7}{10\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(1-\frac{1}{2}\right)^{10-k}=0.0546<\alpha=0.1$

eller

$P(X\geq4)$ ger något orimligt.

Jag tänker mig att 75% och att stickprovet måste ha någon inverkan om p-värdesmetoden skall användas? Är inte helt med på hur man skall göra.

Är jag på rätt spår här? Gärna tacksam för hjälp!

$H_0$ förkastas då $x<4$ och $x\geq8$ , alltså

$P(\{X<4\}\cup\{X\geq 8\})=1-\sum_{k=4}^7{10\choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(1-\frac{1}{2}\right)^{10-k}=0.23>\alpha=0.1$

Hej, jag är lite rostig på detta så någon annan kanske vill säga om jag är ute och cyklar, men som jag ser det är det ett binomial-test du ska göra. Jag håller med om att det är en binomial-fördelning, dock skulle jag säga att den är $\mathrm{Bin}(10, p)$ , och under din null-hypotes är $p=0.75$ , eftersom du förväntar dig att 75 % av komponenterna lever minst 1200 timmar. I detta fall har du noterat att det endast är 60 %, vilket är mindre än 75 %, som överlever mer än 1200 timmar

Så, du sätter upp din null-hypotes $H_0: p=0.75$ mot $H_1: p<0.75$ .

Så, för $X \sim \mathrm{Bin}(10, 0.75)$ (null-hypotesen) räknar du ut vad $\mathrm{Pr}(X\leq 6)$ där sexan kommer från att det var vad du observerade. $\mathrm{Pr}(X\leq 6) = 0.22 > 0.1 = \alpha$ så vi kan inte förkasta nullhypotesen.

Så tanken är helt enkelt att eftersom du observerar färre antal komponenter som överlever 1200 timmar än vad du förväntar dig från null-hypotesen så kollar du vad sannolikheten är att få ett så lågt värde, eller ännu lägre. Hade du istället observerat exempelvis 9 stycken komponenter med livslängd längre än 1200 timmar, alltså högre än vad du förväntade dig, hade du istället tittat vad sannolikheten vore att få ett så högt värde, eller ännu högre, dvs $\mathrm{Pr}(X \geq 9) = 1 - \mathrm{Pr}(X \leq 9)$

Jag inser att min användning av p som en sannolikhet kanske blir något förvirrande. Jag borde ha använt $\pi$ istället, p är väl i detta fal lämpligt att använda för det tal som blir 0.22.

Jag ser också att jag gjort ett lite typo i mitt tillägg. Jag skriver $\mathrm{Pr}(X\leq 9)$ , men det ska vara strikt olikhet.

Du verkar ha snurrat till det lite och Hondel har förklarat det mesta.

Säg att en komponent har livslängd X.

Under tillverkarens löfte är P(X<1200)=0.25.

Vi vill testa denna hypotes. Vi kallar P(X<1200) för p.

Då är antalet lampor bland N slumpmässigt utvalda Bin(n,p)-fördelat. Vi testar nollhypotesen p=0.25 mot den alternativa hypotesen p>0.25, det vill säga ett ensidigt test. Anledningen att vi har ett ensidigt test är att tillverkaren svårligen kan sägas ha brutit mot sitt löfte om fler än 75% av komponenterna har livslängd mer än 1200. Om man ska välja ensidigt eller tvåsidigt test handlar inte så mycket om matte, det är mer än en läsförståelsegrej. I det här fallet har tillverkaren inte lovat att exakt 75% ska hålla 1200 timmar, utan 75% ska förstås som minst 75%.

Så om vi tar 10 slumpmässiga komponenter och undersöker hur många som har en livslängd under 1200 så är detta en slumpvariabel Y som är Bin(10,0.25) fördelad.

Vi beräknar nu sannolikheten att Y>= 4, eftersom vi observerat Y=4. Kalla denna sannolikhet P. Vi förkastar nollhypotesen p=0.25 till förmån för alternativhypotesen p>0.25 om P är under vår valda signifikansnivå, i det här fallet 0.1.

Om du nu beräknar P vad får du då?

Svara

Visa senaste svar