Taylorutveckling

goljadkin skrev :

Hej,

kan någon hjälpa mig med följande Taylorutveckling av ordning 1 och 2 i punkten(1,1) till funktionen:

f(x,y)=(1+x+2y)-1

jag tror att man ska börja med att sätta f´x=-1(1+x+2y) = f´x(1,1)=-4

och med f´y= -1(1+x+2y)= f´y(1,1) = -4

Leta på Taylors formel så kommer det nog bli tydligt vad du behöver för något.

1/(1+t) har en välkänd taylorutveckling som kallas geometrisk serie. Känner du till summan av en geometrisk serie? I så fall är det bara att byta ut t mot x+2y så är du klar.

okej så $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3$

om jag sätter in t=(x+2y) får jag $\frac{1}{1+x+2y}=1-(x+2y)+(x+2y{)}^2-(x+2y{)}^3$

Rätt!

Okej, men svaret ska bli:

$P_1(h,k)=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}h-\frac{1}{8}k$

$P_2(h,k)=P_1(h,k)+\frac{1}{64}{h}^2+\frac{1}{16}hk+\frac{1}{16}{k}^2$

hur ska man ta sig vidare från $1-(x+2y)+(x+2y{)}^2-(x+2y{)}^3$ till $P_2(h,k)=P_1(h,k)+\frac{1}{64}{h}^2+\frac{1}{16}hk+\frac{1}{16}{k}^2$

Oj då, jag såg inte att det var i punkten (1,1). Din utveckling är i punkten (0,0). Du ska sätta in x=1+h och y=1+k och då blir uttrycket 1/(4+h+2k). Det kan skrivas (1/4)*1/(1+h/4+k/2) och här kan du använda geometriska serien igen fast med t=h/4+k/2.

om jag sätter in t= $\frac{h}{4}+\frac{k}{2}$ och sätter in i den geometriska serien får jag $\frac{1}{4+h+2k}=1-\left(\frac{h}{4}+\frac{k}{2}\right)+{\left(\frac{h}{4}-\frac{k}{2}\right)}^2-{\left(\frac{h}{4}-\frac{k}{2}\right)}^3$

Och vad blir det om du multiplicerar ihop parenteserna och förenklar?

Du har glömt 1/4 framför alltihop.

jag fick $1-\frac{1}{2}h+k$ men jag är osäker på om det blev rätt.

Eftersom det inte stämmer med facit (som du skrev innan) så är det inte rätt. Du har t ex tappat bort en faktor 1/4.

Visa hur du har gjort steg för steg. Det är omöjligt för oss att hitta var det blivit fel om du bara slänger fram svaret.

jag fick 1-2$\left(\frac{h}{4}+\frac{k}{2}\right)$ och tog sedan 1-$\frac{2h}{4}+\frac{2k}{2}=1-\frac{1}{2}h+k$

men det blev ju inte rätt

Varifrån fick du tvåan framför parentesen?

det blev nog fel tyvärr, jag har inte riktigt fått till det.

Ta och läs igenom hela den här tråden, försök förstå alla råd du får och börja om med uppgiften från början.