Taylorutveckling, x=a?
Har en fundering kring varför om man fått något värde x i uppgiften ersätter a med x i taylorutvecklingen?
T.ex när jag löser följande:
Bestäm Taylorpolynomet av grad n till 1/(2+x) kring punkten x = 1.
f(a)==> f(1)= , f´(a)= => f´(1)=, f"(a)==> f"(1)= ,... =>
Detta gör att Taylorpolynomet är .
-
Hur kommer det sig att man ersätter a med värdet för x medan man inte sätter in det på x?
-
Tacksam för hjälp!
Menar du "ersätter x med a"?
Jag vet inte alls var a kommer ifrån. Jag hade skrivit x överallt där.
Innan man har bestämt sig för vilken punkt man vill utveckla kring kan man kalla den för a, och då blir det ett polynom i (x-a), men att f(a) = 1/(2+x) stämmer ju bara när x=a.
Laguna skrev:Menar du "ersätter x med a"?
Jag vet inte alls var a kommer ifrån. Jag hade skrivit x överallt där.
Innan man har bestämt sig för vilken punkt man vill utveckla kring kan man kalla den för a, och då blir det ett polynom i (x-a), men att f(a) = 1/(2+x) stämmer ju bara när x=a.
Okej då är jag med, så jag kan sätta in 1 istället för x i Taylorpolynomet?
Nja jag hade undvikit att skriva t ex f(a)=1/(2+x) det är bättre att skriva a direkt där för att undvika förvirring. När du skapar ett taylorpolynom vill du ju ha ett polynom som approximerar en funktion för många x-värden i närheten av en punkt så det hade varit meningslöst att sätta in a överallt eftersom du då helt enkelt skulle fått värdet i punkten a och ingen annanstans.
Jag skulle också undvika att skriva din sista term på den formen du gör. Uppgiften frågar om polynomet för en specifik funktion och du har angivit koefficienterna framför de första termerna bra, men vid n:te termen har du bara skrivit upp den allmäna formen för ett Taylorpolynom vilket inte säger någonting om funktionen vi är intresserad av.
parveln skrev:Nja jag hade undvikit att skriva t ex f(a)=1/(2+x) det är bättre att skriva a direkt där för att undvika förvirring. När du skapar ett taylorpolynom vill du ju ha ett polynom som approximerar en funktion för många x-värden i närheten av en punkt så det hade varit meningslöst att sätta in a överallt eftersom du då helt enkelt skulle fått värdet i punkten a och ingen annanstans.
Jag skulle också undvika att skriva din sista term på den formen du gör. Uppgiften frågar om polynomet för en specifik funktion och du har angivit koefficienterna framför de första termerna bra, men vid n:te termen har du bara skrivit upp den allmäna formen för ett Taylorpolynom vilket inte säger någonting om funktionen vi är intresserad av.
Är det bättre att skriva f(x)= och sedan i sista termen
Tror inte jag helt fattat detta med Taylor och Maclaurinutvecklingarna än ://
Ja så går bra, eller helt enkelt f(a)=. Följt av din implikation. Poängen med Taylor/MacLaurinutvecklingar är att man i en omgivning till en punkt skaffar en approximation av en funktion. Man vill alltså kunna beskriva en (svår) funktion i termer av ett polynom(som är enkla att räkna med. Till exempel kan det vara svårt att räkna ut ett bra närmevärde till men det är desto enklare att Maclaurinutveckla kring x=0 och sedan sätta in värdet x=0.3 i sitt MacLaurinpolynom(och eventuellt uppskatta felet mha resttermen). Talet a i taylorpolynomet(eller 0 i MacLaurinpolynomet) berättar vilken punkt vi har utvecklat polynomet kring, och uppskattningen blir oftast bättre ju närmare vi är denna punkt, men förväxla inte konstanten a med variabeln x i vårt nya polynom. Om vi inte hade haft en variabel skulle vi ju inte kunnat uppskatta funktionens värde i någon annan punkt än just a.
lamayo skrev:Laguna skrev:Menar du "ersätter x med a"?
Jag vet inte alls var a kommer ifrån. Jag hade skrivit x överallt där.
Innan man har bestämt sig för vilken punkt man vill utveckla kring kan man kalla den för a, och då blir det ett polynom i (x-a), men att f(a) = 1/(2+x) stämmer ju bara när x=a.
Okej då är jag med, så jag kan sätta in 1 istället för x i Taylorpolynomet?
Då får du f(1) som är 1/3 och det visste du redan, så det ger inte nånting. Har du polynomet är du klar.
Laguna skrev:lamayo skrev:Laguna skrev:Menar du "ersätter x med a"?
Jag vet inte alls var a kommer ifrån. Jag hade skrivit x överallt där.
Innan man har bestämt sig för vilken punkt man vill utveckla kring kan man kalla den för a, och då blir det ett polynom i (x-a), men att f(a) = 1/(2+x) stämmer ju bara när x=a.
Okej då är jag med, så jag kan sätta in 1 istället för x i Taylorpolynomet?
Då får du f(1) som är 1/3 och det visste du redan, så det ger inte nånting. Har du polynomet är du klar.
Okej, Tack så mycket!
