4 svar
51 visningar
Susanne123 behöver inte mer hjälp
Susanne123 90
Postad: 16 okt 15:13

Taylorutveckling restterm

Proof of Taylor Expansion with Peano remainder

Vad innebär o((x-xo)^k) mer exakt?

naytte Online 5020 – Moderator
Postad: 16 okt 15:55 Redigerad: 16 okt 15:56

Det kallas för "big O notation" och är ett sätt att ange felet på utvecklingen. Vi kan ta Taylorutvecklingen av sinus i a=0a=0 som exempel. När man skriver:

sinx=x-x33!+x55!+Ox7\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O\left(x^7 \right)

Så menar man att de resterande termerna i utvecklingen inte är större c·x7c\cdot x^7, för någon konstant cc, då x0x\to 0. Det är alltså ett sätt att ange hur stort "felet" är.

Men jag tror det står fel i din definition. Är rätt säker på att det borde stå Ox-x0k+1O\left(x-x_0\right)^{k+1}

Susanne123 90
Postad: 16 okt 16:01

Jag har alltid använt mig av O(x−x0)k+1 som felterm innan, men min lärare använder sig istället av "little O notationen" i samband med peano formen av resttermen vid olika typer av konvergensbevis. Jag förstår inte riktigt innebörden av denna

naytte Online 5020 – Moderator
Postad: 16 okt 16:29 Redigerad: 16 okt 16:34

Ah, okej. Little-o-notation är ett striktare sätt att ange felet. Given en funktion gxg\left(x\right) så definieras little o-notation som:

ogx:={fx:c>0x0>0xx00fx<cgx}\displaystyle o\left(g\left(x\right) \right) := \{ f\left(x\right):\left(\forall c>0\right)\left(\exists x_0>0\right)\left[x\ge x_0 \implies 0\le f\left(x\right)< cg\left(x\right) \right] \}

Visserligen lite krångligt, men den väsentliga skillnaden mellan denna notation och big O notation är att i big O notation så får fxcgxf\left(x\right)\le cg\left(x\right), medan vi i little o notation har en strikt olikhet istället. Så om vi tittar på en Taylorutveckling:

fx=k=0nfkx0k!x-x0k+ox-x0k,xx0\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^k\left(x_0\right)}{k!}\left(x-x_0\right)^k+o\left(x-x_0\right)^k, x\to x_0

I ord skulle man kunna säga att "då xx går mot punkten x0x_0 så går felet mot 00 snabbare än för polynomet x-x0k\left(x-x_0\right)^k".

Hoppas inte jag har skrivit fel någonstans nu. Det blev ett krångligt inlägg.

Susanne123 90
Postad: 16 okt 17:00

Tack:)

Svara
Close