Taylorutveckling restterm

Det kallas för "big O notation" och är ett sätt att ange felet på utvecklingen. Vi kan ta Taylorutvecklingen av sinus i $a=0$ som exempel. När man skriver:

$\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O\left(x^7 \right)$

Så menar man att de resterande termerna i utvecklingen inte är större $c\cdot x^7$, för någon konstant $c$, då $x\to 0$. Det är alltså ett sätt att ange hur stort "felet" är.

Men jag tror det står fel i din definition. Är rätt säker på att det borde stå $O\left(x-x_0\right)^{k+1}$

Jag har alltid använt mig av O(x−x0)k+1 som felterm innan, men min lärare använder sig istället av "little O notationen" i samband med peano formen av resttermen vid olika typer av konvergensbevis. Jag förstår inte riktigt innebörden av denna

Ah, okej. Little-o-notation är ett striktare sätt att ange felet. Given en funktion $g\left(x\right)$ så definieras little o-notation som:

$\displaystyle o\left(g\left(x\right) \right) := \{ f\left(x\right):\left(\forall c>0\right)\left(\exists x_0>0\right)\left[x\ge x_0 \implies 0\le f\left(x\right)< cg\left(x\right) \right] \}$

Visserligen lite krångligt, men den väsentliga skillnaden mellan denna notation och big O notation är att i big O notation så får $f\left(x\right)\le cg\left(x\right)$, medan vi i little o notation har en strikt olikhet istället. Så om vi tittar på en Taylorutveckling:

$\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^k\left(x_0\right)}{k!}\left(x-x_0\right)^k+o\left(x-x_0\right)^k, x\to x_0$

I ord skulle man kunna säga att "då $x$ går mot punkten $x_0$ så går felet mot $0$ snabbare än för polynomet $\left(x-x_0\right)^k$".

Hoppas inte jag har skrivit fel någonstans nu. Det blev ett krångligt inlägg.

Tack:)