Taylorutveckling av vektorvärda funktioner

h är uppenbarligen en vektor som innebär en förflyttning av x₀ . Beteckningen h^T  är inte mig veterligen allmänt vedertagen. Vad den står för måste därför framkomma i just din litteratur.

Notera att din formel kan skrivas (f(x₀ +h) - f(x₀ ))/ h = f´(x₀ ) + 0,5h^T f´´(x₀ ) + O(abs(h))²  dvs att den handlar om approximation med förstaderivata.

Om rummet är ändlig-dimensionellt, vilket verkar rimligt att förutsätta här, så bör man kunna Taylor-approximera koordinatvis, dvs med vanlig endimensionell Taylorutveckling. Sätt då f₁ e₁ +f₂ e₂ + ...+f_n e_n  där  e_j  en bas med 1<=j<=n . Vi får ändligt många avvikelser varav vi kan ta den största multiplicerad med n som en något grov gemensam avvikelse. 

Det är nog tänkt att detta skall skrivas på matrisform.

f((1, 1) + (h_x, h_y)) = f(1, 1) + [h_x h_y]$\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f(1, 1)}{\partial x}\\ \frac{\partial f\left(1, 1\right)}{\partial y}\end{array}\right]$ + $\frac{1}{2}$[h_x h_y]$\left[\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial x\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial y\partial y}\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{h}_x\\ h_y\end{array}\right]$ + O(|h|³)

[h_x h_y] = [0.02 0.04].

PATENTERAMERA skrev:

Det är nog tänkt att detta skall skrivas på matrisform.

f((1, 1) + (h_x, h_y)) = f(1, 1) + [h_x h_y]$\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f(1, 1)}{\partial x}\\ \frac{\partial f\left(1, 1\right)}{\partial y}\end{array}\right]$ + $\frac{1}{2}$[h_x h_y]$\left[\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial x\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f(1, 1)}{\partial y\partial y}\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{h}_x\\ h_y\end{array}\right]$ + O(|h|³)

[h_x h_y] = [0.02 0.04].

Tack så mycket för svar! Och ja, så är det säkert. Vi ska hålla på med matriser, borde ha nämnt det i min text! Men så h:et är alltså något som man ska räkna fram? Om jag förstod dig rätt? Har suttit hela dagen och inte förstått var jag ska få h:et ifrån haha. :)

h:et beskriver förändringen från den punkt (x₀, y₀) kring vilken man gör utvecklingen till den punkt (x, y) i vilken man vill utvärdera funktionen.

Om vi utvecklar funktionen kring punkten (x₀, y₀) så gäller det att (x, y) = (x₀, y₀) + (h_x, h_y). 

Som om vi har att (x, y) = (1.02, 1.04) och (x₀, y₀) = (1, 1) så blir (h_x, h_y) = (0.02, 0.04).

PATENTERAMERA skrev:

h:et beskriver förändringen från den punkt (x₀, y₀) kring vilken man gör utvecklingen till den punkt (x, y) i vilken man vill utvärdera funktionen.

Om vi utvecklar funktionen kring punkten (x₀, y₀) så gäller det att (x, y) = (x₀, y₀) + (h_x, h_y). 

Som om vi har att (x, y) = (1.02, 1.04) och (x₀, y₀) = (1, 1) så blir (h_x, h_y) = (0.02, 0.04).

Okej, jag förstår! Tack så jättemycket för svar och hjälp!!