Taylorutveckling

Hej!

Uppgift:

Beräkna följande gränsvärde om det existerar

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x^{2}) - \sin^{2} x}{1 - \cos (x^{2})}$ .

Lösning:

I ett lösningsförslag står det delvis:

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x^{2}) - \sin^{2} x}{1 - \cos (x^{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\sum_{k \geq 1} \frac{(x^{2})^{k}}{k} - (\sum_{k \geq 0} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!})}{1 - \sum_{k \geq 0} \frac{(- 1)^{k} (x^{2})^{2 k}}{(2 k)!}}$

där man använder Taylorutveckling.

Jag är dock inte med på varför det blir så. Så här tänker jag:

Taylorpolynomet av ordning n ges av:

$f (x) = f (a) + \frac{f' (a)}{1!} (x - a) + \frac{f'' (a)}{2!} (x - a)^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^{n} + \frac{f^{(n + 1)} (a + θ (x - a))}{(n + 1)!} (x - a)^{n + 1}$

men jag ser inte hur jag ska komma fram till samma sak som ovan.

Du har bara skrivit ner Taylors formel. I ditt fall handlar det om utveckling kring x=0, alltså McLaurins formel. Alla summor i det sista uttrycket i lösningsförslaget är funktionernas respektive McLaurin utveckling. Börja med att McLaurin utveckla funktionerna

$\ln (1 + t) \sin (t) \cos (t)$

Och översätt till x. Skriv dem sedan som summor så ska du se att du får samma som facit. Du behöver inte ens skriva dessa med summa tecken symbol för att lösa problemet.

Ett tips utöver ovanstående är att använda att:

$\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$

Lirim.K skrev :
Du har bara skrivit ner Taylors formel. I ditt fall handlar det om utveckling kring x=0, alltså McLaurins formel. Alla summor i det sista uttrycket i lösningsförslaget är funktionernas respektive McLaurin utveckling. Börja med att McLaurin utveckla funktionerna
$\ln (1 + t) \sin (t) \cos (t)$
Och översätt till x. Skriv dem sedan som summor så ska du se att du får samma som facit. Du behöver inte ens skriva dessa med summa tecken symbol för att lösa problemet.

Eftersom McLaurins formel endast är ett specialfall av Taylors formel så tänkte jag att det inte spelade någon roll. Är inte denna formel detsamma som dess utveckling?

Hej!

Använd dig av de faktum att i en omgivning till $x=0$ kan man skriva

$\sin x = x + o(x)$

och

$\cos x = 1 - 0.5 x^2 + o(x^2)$

där funktionerna $o$ betecknar lilla-ordo. Hur ser motsvarande samband ut för funktionen $\ln(1+x)$ ?

Albiki

Svara

Visa senaste svar