Taylorseries

Jag gjorde såhär:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n(n+1)2^n}{(x+1)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(n+1)}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n$

Den första serien kan enkelt lösas med variabelbyte/"känd formel". Den andra kan skrivas om på följande sätt:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(n+1)}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n=\frac{-1}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n-1$

vilket kan lösas på samma sätt som tidigare serie.

vad får du för svar? 

Truppeduppe skrev:

Jag gjorde såhär:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n(n+1)2^n}{(x+1)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(n+1)}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n$

Den första serien kan enkelt lösas med variabelbyte/"känd formel". Den andra kan skrivas om på följande sätt:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(n+1)}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n=\frac{-1}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n-1$

vilket kan lösas på samma sätt som tidigare serie.

kan man alltid dela upp summorna så där?

theswagmaster skrev:

Truppeduppe skrev:

Jag gjorde såhär:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n(n+1)2^n}{(x+1)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(n+1)}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n$

Den första serien kan enkelt lösas med variabelbyte/"känd formel". Den andra kan skrivas om på följande sätt:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(n+1)}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n=\frac{-1}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{n}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^n-1$

vilket kan lösas på samma sätt som tidigare serie.

kan man alltid dela upp summorna så där?

Endast om serien är (absolut)konvergent.

Lösningsförslag: