Taylorseries

Målet är ofta att skriva om summan till "kända" serier. Vi ser att koefficienterna till varje term är $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}$ kan du skriva om denna på något sätt?

tänker typ att man kan skriva om den med partiell bråkuppdelning och då får jag $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$men hur ska man ta sig vidare?

Prova att derivera serien. Då faller det ut ett n i täljaren so kan förkortas bort.

derivatan blir $\frac{(2n+1)x^{2n}}{n(n+1)}$, hur ska jag gå vidare med detta? Vad är även den generella metod när det kommer till sånna här uppgifter? 

Man kan jämföra med serien x + x²/2 + x³/3 + ...

Laguna skrev:

Man kan jämföra med serien x + x²/2 + x³/3 + ...

hur kommer man fram till det? 

Hur ser din serie ut som har bara n i nämnaren?

$\frac{x^{2n+1}}{n}\times \frac{1}{n+1}$, är det detta du menar och sedan den med bara n i nämnaren är den första termen?

Nej, du har redan partialbråksuppdelat 1/n(n+1), så jag talar om den första termen, den med nämnaren n.

förstår inte vad du menar tyvärr

$\frac{x^{2n+1}}{n(n+1)} = \frac{x^{2n+1}}{n}-\frac{x^{2n+1}}{n+1}$

Nu tittar jag på den första termen. Eftersom den har n i nämnaren så liknar den lite serien för ln(1-x).

går de ba att dela upp den så eller gjorde du en partiell bråkuppdelning?

Potensserier kan delas upp så som Laguna föreslår. Det beror på att de konvergerar absolut (och likformigt) på kompakta mängder inom konvergenscirkeln, vilket tillåter att serien omordnas. Förslaget innebär just en omordning.

Utgå från #12, med rättelsen att studera ln(1-x^2), så kommer du en bra bit på vägen.

jag lyckades komma fram till $\frac{\ln (1-x^2)}{x}$men resten får jag inte ihop.