Taylorserier runt en punkt

Nej, boken frågar ju efter serien, så det hjälper ju inte om du deriverar hundra gånger, ifall du inte hittar ett mönster och visar att det gäller ”alla grader”.

Spontant tänker jag att du ska manipulera uttrycket så att du hittar en känd utveckling. Men på rak arm ser jag inte hur det ska göras (inte på krokig heller).

Skriv om på formen f(t) = a/(1 + t) för lämplig konstant a och t en funktion av x och y. Annars kan du alltid derivera. 

Dr. G skrev:

Skriv om på formen f(t) = a/(1 + t) för lämplig konstant a och t en funktion av x och y. Annars kan du alltid derivera. 

Ok så a=1/2 och t=xy²/2? Varför ska jag göra på detta viset

Mogens skrev:

ifall du inte hittar ett mönster och visar att det gäller ”alla grader”

precis det jag tänkte 

Cien skrev:

Dr. G skrev:

Skriv om på formen f(t) = a/(1 + t) för lämplig konstant a och t en funktion av x och y. Annars kan du alltid derivera. 

Ok så a=1/2 och t=xy²/2? Varför ska jag göra på detta viset

Då kan du använda maclaurinutvecklingen för 1/(1 + t).

Dr. G skrev:

Cien skrev:

Visa föregående citat

Dr. G skrev:

Skriv om på formen f(t) = a/(1 + t) för lämplig konstant a och t en funktion av x och y. Annars kan du alltid derivera. 

Ok så a=1/2 och t=xy²/2? Varför ska jag göra på detta viset

Då kan du använda maclaurinutvecklingen för 1/(1 + t).

Jag använder Maclaurinutvecklingen $\sum_{k=0} ^{\infty} ar^k=\dfrac{a}{1-r}$

Så jag måste skriva om mitt uttryck $\dfrac{1}{2+xy^2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1-\left(-\frac{xy^2}{2}  \right)}$

Skriver det nu som en summa genom att helt enkelt stoppa in värdena i ovan

$\dfrac{1}{2}\sum_{k=0} ^{\infty} \left( -\dfrac{xy^2}{2} \right)^k$

Verkar bli fel med facit $\sum_{n=0} ^{\infty} \left( -1 \right)^n \dfrac{x^ny^{2n}}{2^{n+1}}$

Du får väl förenkla din formel lite.

PATENTERAMERA skrev:

Du får väl förenkla din formel lite.

Tänkte att det var fel men det ser rätt ut när jag tänker efter