Taylorserier med ändlig konvergensradie, måste det vara en radie?

Ja. Det är nämligen så att man kan visa att om en potensserie konvergerar i ett visst intervall går det att visa att funktionen är en Taylorutveckling kring intervallets mittpunkt (se här). Därför är intervallet symmetriskt kring utvecklingspunkten.

Däremot finns det ett litet krux gällande intervallets ändpunkter. Det är nämligen möjligt för en Taylorserie att konvergera i den ena ändpunkten av intervallet, men inte den andra. Ta till exempel vår kära utveckling av $\ln(1+x)$:

$\displaystyle\ln\left(1+x\right)=\sum_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot x^n$

som gäller för $-1<x\leq1$, d.v.s. serien konvergerar för $x=1$ men inte $x=-1$. I det avseendet kan en serie konvergera olika långt till höger och till vänster, men det är ändå alltid lika långt "till vänster och höger".

Kul fråga! Som AlvinB redan har påpekat är din intuition om att en Taylor-serie alltid konvergerar lika långt till höger som till vänster om utvecklingspunkten bara nästan korrekt, så till vida att det inte går att utala sig om konvergensintervallets ändpunkter. Men förutom det lilla förbehållet, så är du helt rätt på det. Dessutom gäller modifieringen av din förmodan till och med för alla potensserier, och inte bara Taylor-serier.

Nyckeln till det hela är följande resultat.

Sats. Låt $\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ vara en potensserie som konvergerar när $x=t$, för något visst $t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Då konvergerar den för alla $x\in\mathbb{R}$ sådana att $|x|<|t|$.

Bevis. Eftersom $\sum_{k=0}^\infty a_k t^k$ konvergerar, så måste det gälla att $a_kt^k\to 0$ när $k\to\infty$. Speciellt måste termernas storlek vara övre begränsad, så till vida att det finns något tal $M>0$ sådant att $|a_kt^k|\leqslant M$ för alla $k\in\mathbb{N}$.

Låt nu $x\in\mathbb{R}$ vara sådant att $|x|<|t|$.

Vi vill visa att $\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ konvergerar, dvs. att $|\sum_{k=0}^\infty a_k x^k|<\infty$.

Detta följer nu av följande uppskattningar:

$\displaystyle|\sum_{k=0}^\infty a_k x^k|\leqslant\sum_{k=0}^\infty {|a_k|} {|x|}^k=\sum_{k=0}^\infty {|a_k|} {|t|^k}\frac{|x|^k}{|t|^k}=\sum_{k=0}^\infty {\color{Blue} |a_kt^k|} \left(\frac{|x|}{|t|}\right)^k\leqslant \sum_{k=0}^\infty {\color{Blue} M} \left(\frac{|x|}{|t|}\right)^k<\infty\,,$

där serien i det sista steget är en geometrisk serie, som konvergerar eftersom $|x|<|t|$ medför $\frac{|x|}{|t|}<1$. $\square$

Av detta följer nu (hur?) att mängden av alla punkter där en viss potensserie $\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ konvergerar alltid måste ha formen $(-a,a)$, $[-a,a)$, $(-a,a]$ eller $[-a,a]$ för något $a\in\mathbb{R}_0^+\cup\{\infty\}$, vilket i sin tur innebär att en potensserie $\sum_{k=0}^\infty a_k (x-c)^k$ alltid har en konvergensmängd på formen $(c-a,c+a)$, $[c-a,c+a)$, $(c-a,c+a]$ eller $[c-a,c+a]$ för något $a\in\mathbb{R}_0^+\cup\{\infty\}$.

Oj, jag ville bara ha ja eller nej på frågan men bevis är ännu roligare!

Det här måste jag ta mig lite tid till att smälta. Tack så mycket!

Om det dyker upp följdfrågor eller något är oklart är det så klart bara att säga till, så försöker jag eller någon annan att förklara bättre! :-)