Taylorserien: oförskämt fråga

Personligen tycker jag 3blue1browns video om Taylorserier är bra:

https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4

Språkpolisen informerar: Eftersom det heter en fråga, heter det en oförskämd fråga. Språkpolisen undviker att ge ett oförskämt svar.

Tackar tackar!

Kan ni ge mig exempel på funktioner som inte är $sin$, $cos$ eller $e$? (underförstått, typisk tal som kommer på prov?) 

EDIT: och specifikt när måste man ta ut soppkorgen som heter $O$?

Tackar språkpolisen som alltid för ett mycket uppskattad insats. 

En intressant funktion att approximera är tan(x) runt x = 0. Om denna typ av funktion kommer på ett prov vet jag inte, men det är intressant i alla fall.

$f_{original}\left(x\right)=\tan x, \left\{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<x<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right\}$

Vi bygger på: (jämna (andra, fjärde, sjätte gradens, osv.) derivator av tan(0) är lika med noll, jag har utelämnat dem)

Konstanttermen blir: $f_0\left(x\right)=0$
[Derivatan av tan(0) = 1]
Sedan med en förstagradsterm: $f_1\left(x\right)=x$
Tredjederivatan av samma funktion är 2.
Med tredjegradsterm: $f_3\left(x\right)=x+\frac{2x^3}{3!}$
Femtederivatan av samma funktion är 16.

Med femtegradsterm: $f_5\left(x\right)=x+\frac{2x^3}{3!}+\frac{16x^5}{5!}$

Sjundederivatan av samma funktion är 272.

Med sjundegradsterm: $f_7\left(x\right)=x+\frac{2x^3}{3!}+\frac{16x^5}{5!}+\frac{272x^7}{7!}$

Med niondegradsterm: $f_9\left(x\right)=x+\frac{2x^3}{3!}+\frac{16x^5}{5!}+\frac{272x^7}{7!}+\frac{7936x^9}{9!}$

Och då har vi en mycket bra approximation av tan(x) då $-1\le x\le 1$. Beroende på hur mycket fel man kan tänka sig kan man även gå något längre.

Mycket vackert ljusfiber Smutstvätt!

Om jag får långa din approximation, och om det kommer nu på prov (PS: hur hittar du 5e derivata för tan(x)=16?)

MEN NU PROVKÖR VI TILL PROV med en lånade funktion:

Om jag får en funktion typ:

${\int }_{whatever}^{whatever}\frac{\tan x}{x}dx$ att integrera, får jag använda mig av:

$f_{\frac{\tan x}{x}}=1+\frac{2x^2}{3!}+\frac{16x^4}{5!}+\frac{272x^6}{7!}$ osv....

I vilket grad kan jag ta ut $O$-sopkorgen?

Jag hittade det eftersom WA gav mig resultatet 16. Nu har du slarvat, Daja!
 Du har bett om femtederivatan av tan(0). tan(0) är ett tal, inte en funktion. Femtederivatan av alla tal är noll. 

Hur många deriveringar du måste ha med lämnar jag till experterna, men min icke-kvalificerade gissning är att du behöver några stycken i alla fall. 

Som amateur matematiker föreslår jag att skapa en konstant: $D_j$, uttalas ''daja'', kallade modest efter mig själv.

Detta konstant skulle kunna användas efter vilket matematisk svar som helst i formen $\mathit{S}\mathit{v}\mathit{a}\mathit{r}: y=(\frac{x^3}{6}+CX+D)e^{-x}+ D_j$, och skulle täcka vilket slarvfel som helst. Den viktigaste för att konstant skulle gälla är att det står ''svar'' framför uttrycket.

Så nu är det bara att vänta att riktiga matematiker är fria från skolor/jobbet.... !

Hej Daja,

Vilka termer du kan kasta i papperskorgen beror helt på hur noggranna beräkningar du behöver göra. Din Taylorutveckling blir  i regel sämre ju längre från utvecklingspunkten  du befinner dig.

Att utveckla en funktion runt x=0 och sedan använda approximationen för väldigt stora x är i regel en dålig idé.

Ofta räcker det att ta med några få termer, särskilt om du använder utvecklingen väldigt nära punkten du utvecklat kring. Vill du veta exakt hur noggrann din approximation är måste du göra en feluppskattning.

Det gör du genom att studera hur stor resttermen maximalt kan vara.

Resttermen i en Taylorutveckling runt punkten $x_0$ ges av

$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}$

Som som du ser skalar felet med $(x-x_0)^{(n+1)}$. Längden $(x-x_0 )$ är bara ett mått på avståndet till utvecklingspunkten .  Ju närmare vi befinner oss och ju högre $n$ desto mindre fel (under förutsättning att inte derivatorna av högre ordning hittar på något hyss).

Taylors formel brukar mest användas i en utveckling kring $x_0=0$ och kallas då Maclaurinutveckling

Några Maclaurinutvecklingar man helst bör kunna utantill utöver $e^x, \sin(x), \cos(x)$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\mathcal{O}(x^5)$ $x>-1$ obv

$(1+x)^p=1+px+\binom{p}{2}x^2+\mathcal{O}(x^3)$

$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\mathcal{O}(x^7)$

$\arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+\mathcal{O}(x^5)$ $|x|<>$

Guggle skrev:

Hej Daja,

Vilka termer du kan kasta i papperskorgen beror helt på hur noggranna beräkningar du behöver göra. Din Taylorutveckling blir  i regel sämre ju längre från utvecklingspunkten  du befinner dig.

Att utveckla en funktion runt x=0 och sedan använda approximationen för väldigt stora x är i regel en dålig idé.

Ok, så varje gång jag ser ${\int }_0^1, {\int }_{-1}^0$ typ, är det Maclaurinutvecklingen som gäller...

Ofta räcker det att ta med några få termer, särskilt om du använder utvecklingen väldigt nära punkten du utvecklat kring. Vill du veta exakt hur noggrann din approximation är måste du göra en feluppskattning.

Det gör du genom att studera hur stor resttermen maximalt kan vara.

Resttermen i en Taylorutveckling runt punkten $x_0$ ges av

$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}$

Som som du ser skalar felet med $(x-x_0)^{(n+1)}$. Längden $(x-x_0 )$ är bara ett mått på avståndet till utvecklingspunkten .  Ju närmare vi befinner oss och ju högre $n$ desto mindre fel (under förutsättning att inte derivatorna av högre ordning hittar på något hyss).

Kan du snälla ge ett exempel, jag kan bara tänka mig av polynomer.

Taylors formel brukar mest användas i en utveckling kring $x_0=0$ och kallas då Maclaurinutveckling

Några Maclaurinutvecklingar man helst bör kunna utantill utöver $e^x, \sin(x), \cos(x)$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\mathcal{O}(x^5)$ $x>-1$ obv

$(1+x)^p=1+px+\binom{p}{2}x^2+\mathcal{O}(x^3)$

$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\mathcal{O}(x^7)$

$\arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+\mathcal{O}(x^5)$ $|x|<>$

 Jag ska se om tatueraren har tid...

När det gäller att kunna komma ihåg några utav de vanligaste maclaurinutvecklingarna som skrivits ovan så brukar jag göra på följande sätt.

Kom ihåg att den geometriska serien har följande utseende: $\sum _{k=0}^{\infty }{t}^k = \frac{1}{1-t}$vilken konvergerar för $x\in (-1,1)$.

Om vi låter $x\in (-1,1)$ så är det ok att derivera samt integrera termvis. (varför detta gäller behöver vi inte gå in på om du inte läst om detta ännu).

Välj $t = -x$ så att $\frac{1}{1+x} = \sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{x}^k \Rightarrow \ln (1+x) ={\int }_{}^{} \sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{x}^{k}dx = \sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k\int x^{k}dx = =\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k\frac{x^{k+1}}{k+1}$.

På samma sätt kan du härleda taylorserien för arctan(x) osv.

Motivationen till varför detta är ok är straight forward.

Detta kanske är till någon hjälp.

tarkovsky123_2 skrev:

När det gäller att kunna komma ihåg några utav de vanligaste maclaurinutvecklingarna som skrivits ovan så brukar jag göra på följande sätt.

Kom ihåg att den geometriska serien har följande utseende: $\sum _{k=0}^{\infty }{t}^k = \frac{1}{1-t}$vilken konvergerar för $x\in (-1,1)$.

Om vi låter $x\in (-1,1)$ så är det ok att derivera samt integrera termvis. (varför detta gäller behöver vi inte gå in på om du inte läst om detta ännu).

 

Välj $t = -x$ så att $\frac{1}{1+x} = \sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{x}^k \Rightarrow \ln (1+x) ={\int }_{}^{} \sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{x}^{k}dx = \sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k\int x^{k}dx = =\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k\frac{x^{k+1}}{k+1}$.

På samma sätt kan du härleda taylorserien för arctan(x) osv.

 

Motivationen till varför detta är ok är straight forward.

 

Detta kanske är till någon hjälp.

 Det hjälper mycket och jag nästan förstår. Men jag kan definitivt inte applicera den för arctan...

Kan du snälla ge en enkelt exempel?

Så här får du fram utvecklingen för $\arctan$:

$\frac{1}{1-t} = 1+t+t^2 + ...$

Sätt $t= -x^2 \Rightarrow$

$\frac{1}{1+x^2} = 1-x^2+x^6 - ...$

Vad från du om du nu integrerar VL och HL?

Med samma notation som jag använde ovan så kan vi sätta $t = -y^2$. Då är $\frac{1}{1+y^2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{y}^{2k}$. Integrera båda led och få $arc\tan \left(x\right) ={\int }_0^x\frac{1}{1+y^2}dy ={\int }_0^x\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{y}^{2k}dy =\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.

tarkovsky123_2 skrev:

Med samma notation som jag använde ovan så kan vi sätta $t = -y^2$. Då är $\frac{1}{1+y^2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{y}^{2k}$. Integrera båda led och få $arc\tan \left(x\right) ={\int }_0^x\frac{1}{1+y^2}dy ={\int }_0^x\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{y}^{2k}dy =\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.

 Snyggt, men du måste väl säkerställa också att konstanttermen verkligen är lika med noll? T.ex. om du skulle härleda utvecklingen för $\cos x$ genom att integrera $-\sin x$ så måste konstanttermen beaktas. 

Ett annat sätt att enkelt härleda utvecklingen för både $\cos \theta$ och $\sin \theta$:

Vi vet att $e^t=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}$. Välj speciellt $t=\theta i$ vilket ger $e^{\theta i} :=\sum _{k=0}^{\infty }{i}^k\frac{{\theta }^k}{k!} =1+\theta i -\frac{{\theta }^2}{2!}-i\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^4}{4!} + i\frac{{\theta }^5}{5!}+-....$ . Omordna sedan seriens termer (detta är ok att göra eftersom serien vi betraktar är absolutkonvergent) så att $e^{\theta i}=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+-...\right) + i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}+-...\right)$ och använd sedan att $e^{\theta i} :=\cos \theta + i\sin \theta$ vilket direkt ger dig utvecklingarna för både cos och sin.

tomast80 skrev:

tarkovsky123_2 skrev:

Med samma notation som jag använde ovan så kan vi sätta $t = -y^2$. Då är $\frac{1}{1+y^2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{y}^{2k}$. Integrera båda led och få $arc\tan \left(x\right) ={\int }_0^x\frac{1}{1+y^2}dy ={\int }_0^x\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k{y}^{2k}dy =\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.

 Snyggt, men du måste väl säkerställa också att konstanttermen verkligen är lika med noll? T.ex. om du skulle härleda utvecklingen för $\cos x$ genom att integrera $-\sin x$ så måste konstanttermen beaktas. 

 Well, det är ju egentligen inga konstigheter. Vi vet att ${\int }_C^x\frac{1}{1+t^2}dt=arc\tan x -arc\tan C$ och vi vet enligt analysens huvudsats att $arc\tan x = {\int }_C^x\frac{1}{1+t^2}dt$ vilket direkt ger att arctanC = 0 => C=0.

tomast80 skrev:

Så här får du fram utvecklingen för $\arctan$:

$\frac{1}{1-t} = 1+t+t^2 + ...$

Sätt $t= -x^2 \Rightarrow$

$\frac{1}{1+x^2} = 1-x^2+x^6 - ...$

Vad från du om du nu integrerar VL och HL?

 Okay, på VL får jag arctan och på HL den här följd du menade. Tack!

Tack också för alla svar: komplexiteten i denna tråd har övertygat mig att sitta mig med maclaurin under sista dagen!